試證明 : 0和1之間,所有實數的數量,與 0到無限大之間,所有實數的數量相等!! 高中 回應 訪客 (未驗證) Re: 試證 2004-10-01 22:24 <我不確定對不對> 因為0和1之間有無限個實數 0和無限大之間也有無限個實數 故証出 <但我覺得好像錯了> 訪客 (未驗證) Re: 試證 2004-10-01 22:26 但是我覺得我上面的證明不對 PeterJiang Re: 試證 2004-10-01 23:27 0到無限大之間，所有實數的整數和小數分開，如：123456789012.3456789→123456789012和3456789 然後再把這兩組數字互相穿插在一起，如： 123456789012和3456789→13243546576879809000102 最後再這串數字前面將一個0.，如：0.13243546576879809000102 如果照這樣排，0到無限大之間所有的實數都可以和0和1之間所有的實數互相對應。 訪客 (未驗證) Re: 試證 2004-10-03 15:18 引用： PeterJiang 寫道: 0到無限大之間，所有實數的整數和小數分開，如：123456789012.3456789→123456789012和3456789 然後再把這兩組數字互相穿插在一起，如： 123456789012和3456789→13243546576879809000102 最後再這串數字前面將一個0.，如：0.13243546576879809000102 如果照這樣排，0到無限大之間所有的實數都可以和0和1之間所有的實數互相對應。 不好意思喔,是證明 並非舉例說明 況且無限大並非用數字就能替代的 因為那是很抽象的東西 提示:試試用三角函數 PeterJiang Re: 試證 2004-10-03 18:00 0和1之間所有的實數可以用sin(x)表示(０〈x〈1) 0到無限大之間所有的時數可以用tan(y)表示(0〈y〈1) 因為x和y都在0和1之間，所以x的數量和y的數量相等，sin(x)數量也一定和tan(y)，就可以證明0和1之間所有實數的數量，與 0到無限大之間所有實數的數量相等。 訪客 (未驗證) Re: 試證 2004-10-04 12:24 x~x ,1-1and onto , x belongs to R then f(x)~x ,1-1 and onto then f(sinx)~x ,1-1 and onto ∴ f( [0,1] )~x ---(1) by the way, f(tanx)~x then f( [0,∞] )~x ---(2) by (1),(2) ∵x~x ∴f( [0,1] )~f( [0,∞] ) # by 前墮落的學生 基隆人 Re: 試證 2004-10-04 14:12 這個問題在大學數學中是基本的問題, 就高中生而言就不知道了,因為不知高中 是否有談到如何比較無限集合的多寡. 這題主要的觀念是 在有限的個數中要比較多少,只要數一數就可知. 但是如果兩集合都是無限, 就定義而言你要找出一個一對一的對應 才可宣稱兩集合數量一樣多. 例如(0,1)和(0,2) 是一樣多,可由 y=2x 即(0,2) = 2 (0,1) 1 對 1 得知. 再例如 (0,1) 和 (1,infinity) 一樣多 y=1/x 所以(0,1) 和 (0, infinity) 一樣多 y=tan(x*pi/2) x= 0 y = 0 , x=1 y=tan(pi/2)=infinity 且是一對一. 題外話,有關這方面的問題(cardinal,ordinal, countable infinity,uncountable infinity等等), 九章應該有出版這方面的書,看一看就可充分 了解. 訪客 (未驗證) Re: 試證 2004-10-04 14:38 沒錯.. 用f(x)=x和f(x)=1/x 是可以更快的解釋.. 但是其最後結果會變成.. 負無限大到無限大~ -1到1 之間 且0並不包括...因為f(x)=1/x.. 故我選擇用三角函數較符合題目吧..=.= by 前墮落的學生 訪客 (未驗證) Re: 試證 2004-10-04 14:41 sorry..筆誤.. 應該是[0,∞)... by 前墮落的學生
PeterJiang Re: 試證 2004-10-01 23:27 0到無限大之間，所有實數的整數和小數分開，如：123456789012.3456789→123456789012和3456789 然後再把這兩組數字互相穿插在一起，如： 123456789012和3456789→13243546576879809000102 最後再這串數字前面將一個0.，如：0.13243546576879809000102 如果照這樣排，0到無限大之間所有的實數都可以和0和1之間所有的實數互相對應。
訪客 (未驗證) Re: 試證 2004-10-03 15:18 引用： PeterJiang 寫道: 0到無限大之間，所有實數的整數和小數分開，如：123456789012.3456789→123456789012和3456789 然後再把這兩組數字互相穿插在一起，如： 123456789012和3456789→13243546576879809000102 最後再這串數字前面將一個0.，如：0.13243546576879809000102 如果照這樣排，0到無限大之間所有的實數都可以和0和1之間所有的實數互相對應。 不好意思喔,是證明 並非舉例說明 況且無限大並非用數字就能替代的 因為那是很抽象的東西 提示:試試用三角函數
PeterJiang Re: 試證 2004-10-03 18:00 0和1之間所有的實數可以用sin(x)表示(０〈x〈1) 0到無限大之間所有的時數可以用tan(y)表示(0〈y〈1) 因為x和y都在0和1之間，所以x的數量和y的數量相等，sin(x)數量也一定和tan(y)，就可以證明0和1之間所有實數的數量，與 0到無限大之間所有實數的數量相等。
訪客 (未驗證) Re: 試證 2004-10-04 12:24 x~x ,1-1and onto , x belongs to R then f(x)~x ,1-1 and onto then f(sinx)~x ,1-1 and onto ∴ f( [0,1] )~x ---(1) by the way, f(tanx)~x then f( [0,∞] )~x ---(2) by (1),(2) ∵x~x ∴f( [0,1] )~f( [0,∞] ) # by 前墮落的學生
基隆人 Re: 試證 2004-10-04 14:12 這個問題在大學數學中是基本的問題, 就高中生而言就不知道了,因為不知高中 是否有談到如何比較無限集合的多寡. 這題主要的觀念是 在有限的個數中要比較多少,只要數一數就可知. 但是如果兩集合都是無限, 就定義而言你要找出一個一對一的對應 才可宣稱兩集合數量一樣多. 例如(0,1)和(0,2) 是一樣多,可由 y=2x 即(0,2) = 2 (0,1) 1 對 1 得知. 再例如 (0,1) 和 (1,infinity) 一樣多 y=1/x 所以(0,1) 和 (0, infinity) 一樣多 y=tan(x*pi/2) x= 0 y = 0 , x=1 y=tan(pi/2)=infinity 且是一對一. 題外話,有關這方面的問題(cardinal,ordinal, countable infinity,uncountable infinity等等), 九章應該有出版這方面的書,看一看就可充分 了解.
訪客 (未驗證) Re: 試證 2004-10-04 14:38 沒錯.. 用f(x)=x和f(x)=1/x 是可以更快的解釋.. 但是其最後結果會變成.. 負無限大到無限大~ -1到1 之間 且0並不包括...因為f(x)=1/x.. 故我選擇用三角函數較符合題目吧..=.= by 前墮落的學生
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訪客 (未驗證)
Re: 試證
2004-10-01 22:24因為0和1之間有無限個實數
0和無限大之間也有無限個實數
故証出
<但我覺得好像錯了>
訪客 (未驗證)
Re: 試證
2004-10-01 22:26PeterJiang
Re: 試證
2004-10-01 23:27然後再把這兩組數字互相穿插在一起，如：
123456789012和3456789→13243546576879809000102
最後再這串數字前面將一個0.，如：0.13243546576879809000102
如果照這樣排，0到無限大之間所有的實數都可以和0和1之間所有的實數互相對應。
訪客 (未驗證)
Re: 試證
2004-10-03 15:18不好意思喔,是證明
並非舉例說明
況且無限大並非用數字就能替代的
因為那是很抽象的東西
提示:試試用三角函數
PeterJiang
Re: 試證
2004-10-03 18:000到無限大之間所有的時數可以用tan(y)表示(0〈y〈1)
因為x和y都在0和1之間，所以x的數量和y的數量相等，sin(x)數量也一定和tan(y)，就可以證明0和1之間所有實數的數量，與 0到無限大之間所有實數的數量相等。
訪客 (未驗證)
Re: 試證
2004-10-04 12:24then f(x)~x ,1-1 and onto
then f(sinx)~x ,1-1 and onto
∴ f( [0,1] )~x ---(1)
by the way,
f(tanx)~x
then f( [0,∞] )~x ---(2)
by (1),(2)
∵x~x
∴f( [0,1] )~f( [0,∞] ) # by 前墮落的學生
基隆人
Re: 試證
2004-10-04 14:12就高中生而言就不知道了,因為不知高中
是否有談到如何比較無限集合的多寡.
這題主要的觀念是
在有限的個數中要比較多少,只要數一數就可知.
但是如果兩集合都是無限,
就定義而言你要找出一個一對一的對應
才可宣稱兩集合數量一樣多.
例如(0,1)和(0,2) 是一樣多,可由 y=2x
即(0,2) = 2 (0,1) 1 對 1 得知.
再例如 (0,1) 和 (1,infinity) 一樣多 y=1/x
所以(0,1) 和 (0, infinity) 一樣多 y=tan(x*pi/2)
x= 0 y = 0 , x=1 y=tan(pi/2)=infinity
且是一對一.
題外話,有關這方面的問題(cardinal,ordinal,
countable infinity,uncountable infinity等等),
九章應該有出版這方面的書,看一看就可充分
了解.
訪客 (未驗證)
Re: 試證
2004-10-04 14:38用f(x)=x和f(x)=1/x
是可以更快的解釋..
但是其最後結果會變成..
負無限大到無限大~ -1到1 之間
且0並不包括...因為f(x)=1/x..
故我選擇用三角函數較符合題目吧..=.=
by 前墮落的學生
訪客 (未驗證)
Re: 試證
2004-10-04 14:41應該是[0,∞)...
by 前墮落的學生