4.平面上任意給定一個圓及一條與此圓不相交的直線。請使用沒有刻度的直尺與圓規做一個正方形，使得此正方形相鄰的兩個頂點在此給定圓的圓周上，另二個頂點則在所給定的直線上(假設這樣的正方形確定存在)。(五分)
↑請大家仔細看清楚這句話!
國中

回應

訪客 (未驗證)

2004-10-17 23:27
其實是可以，不過前提是直線AB到圓心的距離要小於圓的直徑。不然沒有辦法使正方形的兩個頂點在圓周上。
1.先做出直線AB的垂線（要通過圓O的圓心）得垂線CD
2.以CD為半徑畫一圓（圓O2）並取圓周和AB線斷ㄉ交點E.F。
3.分別畫出線段ED及DF的中垂線GH和IJ（也要過圓O的圓周）
4.連接G.I得正方形GIJH→EF＝GH＝IJ＝GI且互相垂直

☆不過我不太確定第一步的垂線怎麼畫，我是回家才想到的。不過應該可以用圓規出來。因為我原本是想：直尺的角不是90度嗎？用那個來畫應該可以吧！不知道行不行就是了......XD

a0931375145

2004-10-19 13:22
我....沒寫到證明.只是我知道將垂線通過圓心就會將正方形頻分成兩個邊長是2:1的長方形之後在其中一個長方形中沿著兩個相鄰的編畫出一個也是2:1的長方形在畫出對角線.然後因為兩個對角線重疊.所以確定那個是正方形(拜託有誰知道怎麼貼圖)

jimmy_0918

2004-10-19 22:57
似乎有兩個正方形 一大一小 先寫大的
前提:線AB距離圓O必須小於直徑
1.過O點做 線段OH 垂直 線AB 於C點
2.另作一直角三角形DEF 線段DE:線段EF=2:1
3.以C為頂點 OC為一邊,作角D=角OCP(P為圓上一點)
4.過P作平行 線AB 交圓於Q點
5.分別過P.Q兩點垂直 線AB 於R.S兩點
6.連 線段PQ 線段QR 線段RS 線段SP
則正方形PQRS為所求

小正方形則是
從上面第3點開始 作角以後 跟圓會有兩個交點
離 線AB 較遠的是大正方行的一點
離 線AB 較近的是小正方形的一點
不知道寫的對不對

yl871809

2004-10-20 21:39


嗯...我的想法和你差不多，一樣是有前提的，不過我還是搞不太懂，假如線AB距離圓O大於直徑，那不是就畫不出正方形了嗎?所以我還是不太懂孫文先先生的意思，拜託看的懂的人解釋一下 :-P

訪客 (未驗證)

2004-10-21 20:49
引用：

yl871809 寫道:
引用：

寫道:
如果沒有前提,到底該怎麼解?

嗯....我爸說，題目上已說『假設有此正方形』，所以是不需要前提的，我聽了覺得有道理，所以告訴大家一下。


若是這樣,當圓心到線段的距離大於圓的直徑這情況,該怎麼作?

訪客 (未驗證)

2004-10-21 22:19
我是用賤招
設圓心為O,線為L
作OI垂直L交L於I,再另外做一個1:2:根號5ㄉ直角三角形,作角OIK=,那個直角三角形邊長1的對角,交圓週於N,再做NM平形OI交L於M,則其中2點即為N.M剩下懶ㄉ說ㄌ

yl871809

2004-10-22 21:41
引用：

寫道:
引用：

yl871809 寫道:
引用：

寫道:
如果沒有前提,到底該怎麼解?

嗯....我爸說，題目上已說『假設有此正方形』，所以是不需要前提的，我聽了覺得有道理，所以告訴大家一下。


若是這樣,當圓心到線段的距離大於圓的直徑這情況,該怎麼作?

所以題目才需說「有這個正方形」，意思就是說這個正方形已話的出來。

yl871809

2004-10-23 16:39
嗯..我有個學長是這樣解的，他是先在其他地方隨意畫一個正方形，將正方形對分成兩個長方形，接著在長方形內畫對角線，再用圓規截下長方形的對角線與正方形的邊的夾角(大家應該知道怎麼用圓規複製吧!)，接著找出圓形的圓心，做一條通過圓心垂直另一條線的垂線，接著再利用圓規複製的角畫出二條通過垂點的直線(垂線的左右各一條)，接著再將線延長到與圓形相交，則兩條線與圓形相交的點即為題目要求的正方形的其中兩個頂點，接著再用圓規將此正方形畫出來即可(正方形的其中一個邊剛好在題目所提供的線上)....好累啊..不過畫起來很簡單，可是我找不到地方放圖片，要不然我就畫好弄上來放就好了..... :-D

yl871809

2004-10-24 06:56
引用：

寫道:
我說ㄉ誇張一點
有ㄍ直徑為1 cmㄉ圓，但是直線ab到此圓圓心的距離是十萬八千公里（假設）

請問降子也可以畫出符合題意的正方形ㄇ :-o

你到底有沒有看懂題目?題目上面有說：「假設此正方形存在。」，OK?

訪客 (未驗證)

2004-10-24 17:40
我用的方法是:
作一通過圓心垂直L的垂線L",交L於點B.再作任一弦L'垂直此垂線,並交此垂線於點A.二等分線段AB於點C.以A為圓心AC為半徑畫圓,此圓交L'於點A' B',連A'B , B'B.延長此二線交圓於D E, D' E'.分別作DK,EM 和L"平行. 或作D'K' E'M' 平行L" 接著連接DE或D'E'. 作出一大正方形及小正方形.

訪客 (未驗證)

2004-10-25 11:36
引用：

yl871809 寫道:
引用：

寫道:
我說ㄉ誇張一點
有ㄍ直徑為1 cmㄉ圓，但是直線ab到此圓圓心的距離是十萬八千公里（假設）

請問降子也可以畫出符合題意的正方形ㄇ :-o

你到底有沒有看懂題目?題目上面有說：「假設此正方形存在。」，OK?


那請問距離到底是多少？
如何畫ㄋ

孫文先

2004-11-03 18:24
針對大家的討論，我做個總結吧！
孫文先敬上

假設給定圓的圓心為O，給定直線為L。
作法如右圖所示：
(1) 過圓心O做直線L的垂線，交L於P。
(2) 在L上取異於P點的點Q，過點Q做直線L的垂線M。
(3) 在直線M上，且與圓心O在L的同側取一點R，使得線段QR＝2PQ。
(4) 做射線PR交圓O於A、A'。
(5) 過A（或A'）做直線L的垂線交L於D（或D'）。
(6) 過A（或A'）做直線OP的垂線交OP於S、交圓O於B（或B'）。
(7) 過B（或B'）做直線L的垂線交L於C（或C'）。
(8) 四邊形ABCD（與A'B'C'D'）即為所求正方形。
證明：
AB與DC都垂直於OP，所以AB與DC平行
QR、DA與CB都垂直於L，所以QR、DA與CB平行
ASPD、 ABCD為矩形，且 DA/DP=QR/QP=2QP/QP=2，即DA＝2DP。
AB為圓O的弦，OS⊥AB AS＝SB
DA＝2DP＝2AS＝AS＋SB＝AB，得證ABCD為正方形。
同理可證，A'B'C'D'為正方形，即此種情況有二解。
討論：
若射線PR與圓O切於點A，同樣的作圖方法可得所求之正方形；此時恰有一解；若射線PR與圓O沒有交點，則此正方形不存在；但題目已說明不考慮這種情況。
評分標準：
(1) 做出圖形→4/7。
(2) 證明所做圖形正確→2/7。
(3) 討論一解或二解→1/7。