5.將2004分拆為一個或一個以上的正整數之和，且這些正整數「差不多相等」。所謂一些正整數「差不多相等」是指它們之中的任一兩個數的差等於1或0。請問滿足上述條件的分拆方法共有多少種?(注意：如果分拆後的正整數都相同，但只有次序不同，視其為同一種分拆方法。)(五分)
國中

回應

st85145

2004-10-20 21:01
引用：

寫道:
2004種會有重複
例:2004/1000=2.....4因為這種方法的餘數/商為整數
所以這種方法就變成2004=1002+1002與2004/1002=2相同,所以答案為1754種

八年級生 XXX 留

你好像錯了,例如2004/5可以有好幾種分法,可以等於400...4,399...9,398...14等

yl871809

2004-10-20 21:33
引用：

st85145 寫道:
引用：

寫道:
2004種會有重複
例:2004/1000=2.....4因為這種方法的餘數/商為整數
所以這種方法就變成2004=1002+1002與2004/1002=2相同,所以答案為1754種

八年級生 XXX 留

你好像錯了,例如2004/5可以有好幾種分法,可以等於400...4,399...9,398...14等

他是錯了沒錯...不過你的敘述需要改一下，餘數不能大於除數，不過算起來答案都是一樣的。 :-P

PeterJiang

2004-10-20 22:53
2004種會有重複
例:2004/1000=2.....4因為這種方法的餘數/商為整數
所以這種方法就變成2004=1002+1002與2004/1002=2相同,所以答案為1754種

八年級生 XXX 留


2004/1000=2.....4應該是2,2,2,......2,,3,3,3,3，不是1002,1002

訪客 (未驗證)

2004-10-21 22:24
引用：

ALPHONSE 寫道:
2004種會有重複



不會有重複，可分為n個數，n=1～2004。
2004/n=m餘k
2004分為(n-k)個m和k個(m+1)
所以最少有2004種分法。

接著再證明分成n個數時以上的分法是唯一的。

所以可以有2004種分法。
沒錯沒錯

b122883603

2004-10-23 11:35
因為餘數不大於除數，所以只要把餘數一個一個分配到商數，例:2004/5=400......4
就可排成400+401+401+401+401
所以分為n組的方法都只有唯一的一種。
依此類推,2004可以分為1,2,3,....2004組，
故有2004種
...........................................................................
應該是吧?

yl871809

2004-10-23 16:07
引用：

b122883603 寫道:
因為餘數不大於除數，所以只要把餘數一個一個分配到商數，例:2004/5=400......4
就可排成400+401+401+401+401
所以分為n組的方法都只有唯一的一種。
依此類推,2004可以分為1,2,3,....2004組，
故有2004種
...........................................................................
應該是吧?

嗯...我的方法跟你一模一樣，只不過當我想到這樣可以解釋時已經離開考場了...... :-o
順便補充一下....加法公式：
被除數÷除數=商....餘數
－－－－－↓(除數–餘數)個－－－ ↓(餘數)個
被除數={商+商+....+商+商}+{(商+1)+(商+1)+....+(商+1)}
例：
2004÷48=41....36
－－－－↓(48-36)個－－－↓(36)個
2004={41+41+....+41}+{(41+1)+(41+1)+....+(41+1)}
→41*(48-36)+42*36=41*12+42*36=492+1512=2004

tchen

2004-10-24 18:05
任何正整數皆大於等於1 , 故2004不可能分解為2005個以上的正整數之和.
欲證明對於1到2004中任一正整數k, , 存在唯一方法將2004分解為 k 個"差不多相等"之正整數. 則可得到恰有2004種分解方法.
任取一正整數k, k 小於 2005. 先證明可以將2004分解為 k 個"差不多相等"之正整數.
由除法原理, 存在唯一非負整數a,b, 使得
2004=ak+b 並且b 小於 k.
故2004可分解為b 個a+1和 (k-b) 個 a. 又因為 k 小於 2005, 故 a 不為零 因此分解存在.
證明唯一性. 給定k, 若2004分解為 k個 "差不多相等"之正整數a1,a2,....ak.
設 a 為其中之最小數, 則任一ai皆為a 或 a+1.
假設ai中有m個a, m大於0小於k+1. 分解由a和m所決定.
2004=ma+(k-m)(a+1). 故 2004=ka+(k-m). 其中 a, k-m 為非負整數, 故 由除法原理 a, k-m 唯一. 故僅有一種分解方法.

得證恰有2004種分解方法

首次回應文章 不知道這樣寫行不行

孫文先

2004-11-03 18:33
針對大家的討論，我做個總結吧！
孫文先敬上
對於任意整數k，1≦k≦2004，根據除法原理，我們可以找到唯一的數對(q, r)，使得2004＝kq＋r，0≦r≦k－1。
r(q＋1)＋(k－r) q＝kq＋r＝2004，即2004可以分拆為r個q+1與k－r個q，且q+1與q是「差不多相等」的正整數。
所以，對於每一個k，我們都可以得到一個滿足題目條件的唯一分拆方法，而k可以取1、2、…、2004，所以共有2004種分拆方法。
評分標準：
(1) 給出5個以上的正確分拆例子→1/7。
(2) 會用 ﹝2004/k﹞之值→2/7。
(3) 會分為r個(q+1)與(k－r)個q→5/7。
(4) 說明對於每一個k，分拆方法是唯一的→2/7。