4.小丁心裡想著兩個正數x、y，並在黑板上依隨意的順序寫下x+y、x—y、x × y及x÷y四個數，然後請小方來猜他心理想的那兩個數。試證只看到黑板上所寫的四個數，小方一定有足夠的訊息可以唯一地算出x、y之值。(六分)
國中

回應

yl871809

2004-10-25 18:08
引用：

寫道:
當x-y是負數時，x＜y， 這ㄍ線索大家都知道吧

提供出來 比較好解 :-D

....廢話....不過告訴你一件事...小於符號必須要用"大的"，＜，不能用小的，不然會消失...(結果連我的都被你用消失了，只好幫你改....)

bencool0105

2004-10-25 20:24
我ㄉ解法是x-y+x+y+x*y+x/y跟x-y-(X+Y)-XY-X/Y
解出連立=>2X+2Y=(會有確定數字(黑板上減起來跟黑板上加起來ㄉ設a))又得到x+y=a
剩下3ㄍ數字
依序帶入x-y = ="

符合~則對

P.S(我第一次來~之前有些PO錯ㄉ><~抱歉)

yl871809

2004-10-26 19:35
引用：

bencool0105 寫道:
我ㄉ解法是x-y+x+y+x*y+x/y跟x-y-(X+Y)-XY-X/Y
解出連立=>2X+2Y=(會有確定數字(黑板上減起來跟黑板上加起來ㄉ設a))又得到x+y=a
剩下3ㄍ數字
依序帶入x-y = ="

符合~則對

P.S(我第一次來~之前有些PO錯ㄉ><~抱歉)

還是有小錯誤，首先你必須找出x-y才行.....(右式)

yl871809

2004-10-26 20:00
引用：

孫文先 寫道:
我也還沒想清楚。我已經為它失眠好幾天了！
擁抱數學竟是如此美好！
孫文先敬上

沒錯！只不過沒想到孫先生沒有正確答案！？還是孫先生想要自己想出答案，這樣才有成就感！？

yl871809

2004-10-26 20:19
引用：

寫道:
引用：

孫文先 寫道:
我也還沒想清楚。我已經為它失眠好幾天了！
擁抱數學竟是如此美好！
孫文先敬上


那其他題目呢?

...當然是同時算好幾題啦!
＿ˍ▁▂▃▄▅▆▇█...數學...█▇▆▅▄▃▂▁ˍ＿

孫文先

2004-10-26 20:43
俄羅斯主辦單位從來不給標準答案的，環球城市數學競賽不僅考該國的學生，也考當國的數學家。台灣有中央研究院數學研究所葉永南教授就搞定了，特別是一些組合題往往都靠他，還有一些連我們都沒答案的，很幸運的，正好有聰明的考生有巧妙的想法。到目前為止還有一、二高中組高級卷的解答是向國外數學家求救得來的。
這就是環球城市數學競賽之所以迷人之處，這個比賽與一般比賽大不相同，它有很長的時間讓您仔細思考，沒有理由說時間不夠；它有各類型的題目只以得分最高的三題計分，沒有理由說考題您不喜歡；它所需的預備知識不多，沒理由說沒學過。
每一題都是證明題，沒有一定的格式與限制，可任您揮灑。這種感受是別類型的比賽無法獲得的。
想數學注重的是心靈的激盪，不是趕集式的熱鬧。
在這充滿尼Q的台灣願意辦像環球城市數學競賽這類比賽的傻瓜應該不多。
孫文先敬上

yl871809

2004-10-26 20:49
引用：

孫文先 寫道:
俄羅斯主辦單位從來不給標準答案的，環球城市數學競賽不僅考該國的學生，也考當國的數學家。台灣有中央研究院數學研究所葉永南教授就搞定了，特別是一些組合題往往都靠他，還有一些連我們都沒答案的，很幸運的，正好有聰明的考生有巧妙的想法。到目前為止還有一、二高中組高級卷的解答是向國外數學家求救得來的。
這就是環球城市數學競賽之所以迷人之處，這個比賽與一般比賽大不相同，它有很長的時間讓您仔細思考，沒有理由說時間不夠；它有各類型的題目只以得分最高的三題計分，沒有理由說考題您不喜歡；它所需的預備知識不多，沒理由說沒學過。
每一題都是證明題，沒有一定的格式與限制，可任您揮灑。這種感受是別類型的比賽無法獲得的。
想數學注重的是心靈的激盪，不是趕集式的熱鬧。
在這充滿尼Q的台灣願意辦像環球城市數學競賽這類比賽的傻瓜應該不多。
孫文先敬上

那這個也能算是在考驗當國所有愛數學的人的能力囉！？真是了不起！原來當我們在算的同時也有很多人在幫忙算！？

galois5

2004-10-26 22:17
引用：

yl871809 寫道:
4.小丁心裡想著兩個正數x、y，並在黑板上依隨意的順序寫下x+y、x—y、x × y及x÷y四個數，然後請小方來猜他心理想的那兩個數。試證只看到黑板上所寫的四個數，小方一定有足夠的訊息可以唯一地算出x、y之值。(六分)

我來幫孫先生給些提示，希望是真的有用：
1. 四個數字是否有不可約分數?
2. 四個數字是否有0?
3. 四個數字是否有1?
4. 四個數字是否有連續整數?
5. 四個數字是否有負數?
希望能再不破壞大家發現的樂趣下，給大家繼續討論的動力。 ;-)

galois5

2004-10-26 23:54
引用：

寫道:
謝謝提醒，這些我都考慮過了，我的想法還有些瑕疵。
孫文先敬上

喔..我是要提醒網友啦，相信孫先生已有定論...

我就打個大綱，歡迎大家挑錯：

1. "有不可約分數"
[xy+(x+y)+(x-y)] / (x/y)=y(y+2)
y=根號(y(y+2)+1), x=y(x/y)

2. "4個數皆為整數且有0"
代表 x=y, 4數和=x^2+(2x)+(0)+1=(x+1)^2

3. "4個數皆為正整數" (x/y 為整數, 令 x=ky,k≧2)
此4數為 kyy, ky+y, ky-y, k
其中較大的兩個數為:kyy 與 ky+y,另兩數為較小的數(要整理說明一下)，
3-1:若 前兩數與後兩數有一對數相等，必定是 kyy=k，所以 y=1,x=(4數和)/4
3-2: 前兩數與後兩數皆相異，可得y≧2
(ky-y)-k ≧2k-2-k=k-2≧0， 所以最小的數為 k,
4數和=k(y+1)^2，可得y+1,y,x.

訪客 (未驗證)

2004-10-27 09:00
如果把四數相加可得x(y+1)^2/y
把這數的和分別除以原來四數
可得
x+y =>x(y+1)^2/y(x+y)
x-y =>x(y+1)^2/y(x-y)
xy =>(y+1)^2/y^2
x/y =>(y+1)^2
最後兩數必為平方數且存在另一數為另一數的y^2倍
把此原來兩數相乘可得x^2
再計算y
不知此法可行嗎
歡迎指導


yl871809

2004-10-27 18:05
引用：

galois5 寫道:
引用：

寫道:
提醒大家：
題目中的x, y是正數而不是正整數，難點就在此。
或釦皒蚋衝隄陛ux, y 為大於0的數」，較不易被弄錯。
孫文先敬上

糟了...看錯題目了，回去再想過... :-(

難就難在有小數和分數的部分....(如果都是整數的話以我的舊方法要證出來應該不是問題)

galois5

2004-10-28 00:07
想到一個蠻複雜的方法，給大家參考一下：

1. 因為 4(xy)(x/y)=[(x+y)+(x-y)]^2，
所以將4個數平分成2組，看看一組乘積的4倍與
另一組和的平方是否相等. 總共要驗算6個式子，
當然至少有一個是成立的。

2. 如果只有1個成立，就得知 (x+y),(x-y)，就求得 x,y

3. 如果有 1 個以上成立的話，可能是其他 5 種分組
的可能，下面舉一種說明，其餘情況類似或不可能發生：

假設選到的是 4(x+y)(x/y)=[(x-y)+(xy)]^2
解 x 的方程式，可得 x=y/(y-1) (當y不等於1)
或 x=y^2/(y^2+3y+4)

A. 第一個解相當於 xy=x+y，也就是這個等式與原本
我們想要的式子是等價的，也可球出一樣的x,y.
B. 第2個解，可推導出：x < y,且
x+y 大於 y-x 大於 (xy 或x/y)，也就是 4 個數中
最大的是 (x+y), 最小的是 (x-y). 即可求出一樣的 x,y.
:-)

訪客 (未驗證)

2004-10-28 22:54
令S={x+y, x-y, xy, x/y}
首先，由於x,y爲正數，故在x+y, x-y, xy, x/y中只有x-y可能不是正數。
以下分三種情況討論：
(a) S含0，則x=y, x/y=1. 考慮S中非零數的積，由(xy).(x+y)=2x^3得到x,y.

(b) S含負數，這時有x 令N爲T中小於1的數的個數
(b1) N=1, 則T中最小的數爲 x/y .由x-y,x/y可確定x.y.

(b2) N=2, 這時x+y不能小於1（若x+y<1，則x<1,y<1,xy<1，從而N=3），
則T中最大的數爲 x+y .由x-y,x+y可確定x.y.

(b3)N=3, 這時x+y<1, 有y<1. 於是 xy
(c）S中均爲正數。
我們證明可將S中四個數分爲兩組A,B，每組兩個數.使得A中兩個數的和得平方爲B中兩個數的積的4倍，且A中的數的數值唯一確定。
由於可取A={x+y,x-y}，B={xy.x/y},從而若上面斷言成立，則A中兩數的值必爲x+y,x-y，這樣便可確定x,y.

現在證明這一點：
假設有分法A,B和A’,B’；A和A’不同，則有兩種可能:
(c1) A和A’沒有相同的數，
令A,A’中的數分別爲a,b;c,d;
則S={a,b,c,d}；B={c,d} ，B’={a,b}
這時有 (a+b)^2=4cd ,(c+d)^2=4ab;
於是 (a-b)^2+(c-d)^2=0
得到a=b,c=d;
進而由（a+b）^2=4cd，
得到 a=b=c=d or a=b= -c= -d
前者要求x+y=x-y, 後者說明有兩個負數.均不可能！

(c2)A和A’恰有一個相同的數，
不妨設A={a,b},A’={a,c} ,S={a,b,c,d}, 且b不等於c。
於是 (a+b)^2=4cd ,(a+c)^2=4bd;
則 b(a+b)^2-c(a+c)^2=0
即（b-c）(a^2+2a(b+c)+b^2+bc+c^2)=0
但是b-c非零，且由a,b,c,爲正數有a^2+2a(b+c)+b^2+bc+c^2>0。矛盾!

以上分析表明可唯一確定x,y.

galois5

2004-10-29 00:57
幫忙貼前一位網友的方法：
註：其實小方檢驗 4ab-(c+d)^2，只要找到一組合理
(cd ＞0,orcd＜ 0 且c+d＞0)的等式即可求出x,y.
引用：

寫道:
令S={x+y, x-y, xy, x/y}
首先，由於x,y爲正數，故在x+y, x-y, xy, x/y中只有x-y可能不是正數。
以下分三種情況討論：
(a) S含0，則x=y, x/y=1. 考慮S中非零數的積，由(xy).(x+y)=2x^3得到x,y.

(b) S含負數，這時有x＜y, x/y＜1. 記T={x+y,xy,x/y}
令N爲T中小於1的數的個數
(b1) N=1, 則T中最小的數爲 x/y .由x-y,x/y可確定x.y.

(b2) N=2, 這時x+y不能小於1（若x+y＜1，則x＜1,y＜1,xy＜1，從而N=3），
則T中最大的數爲 x+y .由x-y,x+y可確定x.y.

(b3)N=3, 這時x+y＜1, 有y＜1. 於是 xy＜x+y, xy＜x/y爲T中最小的數. 由x-y,xy可確定x.y.

(c）S中均爲正數。
我們證明可將S中四個數分爲兩組A,B，每組兩個數.使得A中兩個數的和得平方爲B中兩個數的積的4倍，且A中的數的數值唯一確定。
由於可取A={x+y,x-y}，B={xy.x/y},從而若上面斷言成立，則A中兩數的值必爲x+y,x-y，這樣便可確定x,y.

現在證明這一點：
假設有分法A,B和A’,B’；A和A’不同，則有兩種可能:
(c1) A和A’沒有相同的數，
令A,A’中的數分別爲a,b;c,d;
則S={a,b,c,d}；B={c,d} ，B’={a,b}
這時有 (a+b)^2=4cd ,(c+d)^2=4ab;
於是 (a-b)^2+(c-d)^2=0
得到a=b,c=d;
進而由（a+b）^2=4cd，
得到 a=b=c=d or a=b= -c= -d
前者要求x+y=x-y, 後者說明有兩個負數.均不可能！

(c2)A和A’恰有一個相同的數，
不妨設A={a,b},A’={a,c} ,S={a,b,c,d}, 且b不等於c。
於是 (a+b)^2=4cd ,(a+c)^2=4bd;
則 b(a+b)^2-c(a+c)^2=0
即(b-c)(a^2+2a(b+c)+b^2+bc+c^2)=0
但是b-c非零，且由a,b,c,爲正數有a^2+2a(b+c)+b^2+bc+c^2＞0。矛盾!

以上分析表明可唯一確定x,y.

訪客 (未驗證)

2004-10-30 13:33
孫先生
看過環球的題目後
發現他是與其他數學競賽有著很大差異的比賽
就如同你說的
他不需要俱備太多的高深知識
但我覺得
第一次去考這個的人
可能會受到嚴重的打擊
因為會一題也寫不出來
就如同我...................

訪客 (未驗證)

2004-10-30 14:51
考零分是正常的，有分數就是非常了不起的。
希望您看一看給參賽者的信，免得受傷害了。

孫文先敬上
給參賽者的一封信
The International Mathematics Tournament of the Towns

The Tournament of the Towns is perhaps the second most prestigious international mathematics competitions for high school students, after the International Mathematical Olympiad.
In two important ways, the Tournament is a superior competition. First, any number of students can participate, whereas the Olympiad is limited to a maximum of six students from each country. Since the Tournament is written locally, the expenses involved are minimal. This allows a large number of students to enjoy a taste of high-level international competition. Second, the problems are composed by outstanding practitioners of the art. They are chosen purely on merit, unencumbered by other considerations. It is often frustrating in the Olympiad to see beautiful problems wasted because certain interest groups machinate against them for ulterior motives.
The Tournament is more like a mathematical laboratory than an examination, again in two important ways. First, there are no big prizes to win, and so far, there is no propaganda value attached to the event. Thus participants should not feel any undue pressure. Unlike an examination when the students are supposed to know everything on which they are tested, the Tournament is designed to challenge their creativity. They should not feel ashamed if they are unable to solve any of the problems, because this is what is expected. Thus students should feel proud if they manage to conquer even one problem. Second, a generous amount of time is allowed for the Tournament. The usual examination really tests students whether they can answer routine questions quickly and accurately. There is really no time to ponder how a particular question is to be approached. This nurtures a bad work habit in students who tend to give up too easily on problems that do not yield immediately to an attack. Herein lies the main reason why a large number of students do poorly in the Tournament. It is not for lack of talent or effort, but lack of experience. They must not expect to read the problem and be able to write down the solution right away. They must learn to experiment with the given conditions and try to discover patterns or foster inspiration. These are essential ingredients in a successful research career, and the students cannot start too soon on acquiring such experience.

International Mathematics Tournament of the Towns
Vice-president
Andy Liu

(環球城市數學競賽是僅次於國際奧林匹亞(IMO)第二個最具聲望的中學生國際數學競賽。
環球城市數學競賽是一個較優越的競賽。這可以從兩個重要方向來看。首先，大多數的學生都能夠參與這個競賽，而在國際奧林匹亞競賽中，每個國家卻局限於最多六名學生有機會參加。因為環球城市數學競賽的試務是在各地自行舉辦的，所需的經費較少。這便允酗j量的學生來參與並享受一次高水準的國際競賽。第二，試題由具傑出經驗的專家所命題的。它這題目純粹因數學才能、趣味等因素而被選出來，不受其他因素干擾。在IMO競賽中則常見到一些漂亮的備選題因涉及各國爭取獎牌的隱秘動機，而被人策劃否決了。
環球城市數學競賽比較像是一種數學的實驗而非考試。同樣也可以由兩方面來看。首先，它沒有可能贏得大獎，目前為止也沒有什麼相關的宣傳價值。因此參賽者不會感到任何不適的壓力。不像一般考試，當學生受測時已經被假設他應該了解考試內容的一切知識。環球城市數學競賽是被設計用來挑戰參賽者的創造力，如果他們不能解答任何題目，他們不該因而感到羞恥，因為這是被預料中的結果。反過來說，學生能設法征服任一個問題得到一點分數，他們應該是感到光耀的。再者，環球城市數學競賽給予參賽者充足的時間來解題，而一般的考試只測驗學生能否迅速而精確的回答出制式的問題。他們確實沒有時間來思慮問題應該如何入手，久而久之，便養成學生面對無法立即克服的問題時，輕易地就言放棄的壞習慣。這也就是釵h學生在環球城市數學競賽中考的不好的主因。這並不是他們缺少天賦或者努力，而是缺乏了經驗。一般人通常無法在閱讀完問題後能立即把解答寫出來，他們必須學習去琢磨給定的條件，並試著去發現線索或產生靈感。這些都是成左漪膍s人員相當重要的基本奶牷A學生應該盡快學習。環球城市數學競賽副主席 劉江楓)

訪客 (未驗證)

2004-10-31 20:46
我說一下我的解法....
不知對不對

小丁心裡想著兩個正數x、y，並在黑板上依隨意的順序寫下x+y、x—y、x × y及x÷y四個數，然後請小方來猜他心理想的那兩個數。試證只看到黑板上所寫的四個數，小方一定有足夠的訊息可以唯一地算出x、y之值。

題目只說證：「一定有足夠的訊息可以唯一地算出x、y之值。」
所以：

因為[(x+y)+(x-y)]/2=(xy)*(x/y)^2
我們先任選2個數來算以上算式
若合
則可求出x
又可試出唯一的y
若不合
則掉換一數必可合此算式
接下來依樣畫葫蘆
即可得解

galois5

2004-11-01 14:15
引用：

寫道:
我說一下我的解法....
不知對不對

因為[(x+y)+(x-y)]/2=(xy)*(x/y)^2
我們先任選2個數來算以上算式
若合
則可求出x
又可試出唯一的y
若不合
則掉換一數必可合此算式
接下來依樣畫葫蘆
即可得解


符合這種等式可能不只一個，請參儕e幾篇討論。 :-)

訪客 (未驗證)

2004-11-01 20:40
引用：

寫道:
孫先生
看過環球的題目後
發現他是與其他數學競賽有著很大差異的比賽
就如同你說的
他不需要俱備太多的高深知識
但我覺得
第一次去考這個的人
可能會受到嚴重的打擊
因為會一題也寫不出來
就如同我...................


我認為環球數競好就好在不需要俱備太多的高深知識,學校的考試就好像在逼你狂作題一樣,時間短且題目長.環球數競比學校考試有趣多了,為什麼學校段考部考這類題目呢? :pint:

yl871809

2004-11-06 20:38
引用：

寫道:
我說一下我的解法....
不知對不對

小丁心裡想著兩個正數x、y，並在黑板上依隨意的順序寫下x+y、x—y、x × y及x÷y四個數，然後請小方來猜他心理想的那兩個數。試證只看到黑板上所寫的四個數，小方一定有足夠的訊息可以唯一地算出x、y之值。

題目只說證：「一定有足夠的訊息可以唯一地算出x、y之值。」
所以：

因為[(x+y)+(x-y)]/2=(xy)*(x/y)^2
我們先任選2個數來算以上算式
若合
則可求出x
又可試出唯一的y
若不合
則掉換一數必可合此算式
接下來依樣畫葫蘆
即可得解

只要X和y大一點你就試到死......

孫文先

2006-12-24 10:10
參考答案如下

令S＝{x＋y, x－y, x×y, x÷y}
首先，由於x、y爲正數，故在x＋y、x－y、x×y、x÷y中只有x－y可能不是正數。以下分三種情況討論：
(1) S含0，則x＝y、x÷y ＝1。
考慮S中非零數的積，由(x×y)(x+y)＝2x^3可得到x、y。
(2) S含負數，這時有x＜y、 x÷y ＜1。記T＝{x＋y, x×y, x÷y }
令N爲T中小於1的數的個數
(2.1) N＝1，則T中最小的數爲x÷y。由x－y、x÷y可確定x、y。
(2.2) N＝2，這時x＋y不能小於1（若x＋y＜1 x＜y＜1 x×y ＜1 N＝3），則T中最大的數爲 x＋y 。由x－y、x+y可確定x、y。
(2.3) N＝3，這時x＋y＜1，有x＜y＜1，於是x×y＜x＋y、x×y ＜ x÷y，x×y爲T中最小的數。由x－y、x×y可確定x、y。
(3) S中均爲正數。
我們證明可將S中四個數分爲兩組A、B，每組兩個數，使得A中兩數之和的平方爲B中兩數之積的4倍，且A中的數之數值唯一確定。
由於可取A＝{x＋y, x－y}，B＝{ x×y, x÷y }，從而若上面斷言成立，則A中兩數的值必爲x＋y、x－y，這樣便可確定x、y。
現在證明這一點：令S＝{a, b, c, d}，假設有分法A、B和A'、B'；A和A'不同，則有兩種可能：
(3.1) A和A'沒有相同的數，
令A＝{a, b}、A'＝{c, d}；則B＝{c, d}，B'＝{a, b}
這時有 (a＋b)2=4cd、(c＋d)2=4ab (a－b)2+(c－d)2=0 a=b、c=d；
進而由(a＋b)2＝4cd，得到 a＝b＝c＝d或a＝b＝－c＝－d
前者要求x＋y=x－y，後者說明有兩個負數，均不可能！
(3.2) A和A'恰有一個相同的數，
不妨設A＝{a, b}、A'＝{a, c}，且b不等於c。
於是 (a＋b)2＝4cd、(a＋c)2＝4bd；將此二等式的兩端分成乘以b、c，再將兩式相減得b(a＋b)2－c(a＋c)2＝0，
即(b－c)[a2＋2a(b＋c)＋b2＋bc＋c2]＝0
但是b－c非零，且由a、b、c爲正數有a2＋2a(b＋c)＋b2＋bc＋c2＞0。矛盾！
以上分析說明可唯一確定x、y。