7.有A、B兩種矩形紙板各釵h片。假設可用數片A種矩形拼出一個與B種矩形相似的矩形，試證也可乙用數片B種矩形拼出一個與A種矩形相似的矩形。注意：拼這些矩形時，紙板不允陪宣|也不允酗介’許空隙。(八分)
國中

回應

訪客 (未驗證)

2004-10-25 20:23
我寫說:
因可用數片A拼成與B相似的圖,假設是B',那麼一定能用數片B'拼成與A相似之圖<因為B'是A組成的>,令此圖是B".但B與B'相似,且用數片B可以拼成與數片B'組成之圖相似的圖形,所以用數片B可拼成與B"相似之圖,也就是說用數片B可拼成與A相似的圖形,<不知寫的好不好?>

訪客 (未驗證)

2004-10-25 20:28
引用：

寫道:
我寫說:
因可用數片A拼成與B相似的圖,假設是B',那麼一定能用數片B'拼成與A相似之圖<因為B'是A組成的>,令此圖是B".但B與B'相似,且用數片B可以拼成與數片B'組成之圖相似的圖形,所以用數片B可拼成與B"相似之圖,也就是說用數片B可拼成與A相似的圖形,<不知寫的好不好?>


是矩形啦!

galois5

2004-10-25 23:40
給個大綱給大家參考：

1. A=(長x寬y) 拼成 相似 B 的過程中，
如果方向都一致，則 B 長寬比為 mx:ny.
則 n(mx):m(ny)=x:y，也就是 B 拼成 相似 A 的矩形.

2. 如果方向不一致，也就是在不同的水平線，A有
不同組合的情形，如此可導出 A 長寬比為整數比，
B 的長寬比也為整數比，B 拼出相似 A 的矩形就簡單了.

PS:In part 2. let nx+my=px+qy, then x:y = (n-p):(q-y), 其中 n,m,p,q 為正整數且 n>p,q>y. ;-)

yl871809

2004-10-26 19:26
引用：

寫道:
引用：

寫道:
我寫說:
因可用數片A拼成與B相似的圖,假設是B',那麼一定能用數片B'拼成與A相似之圖<因為B'是A組成的>,令此圖是B".但B與B'相似,且用數片B可以拼成與數片B'組成之圖相似的圖形,所以用數片B可拼成與B"相似之圖,也就是說用數片B可拼成與A相似的圖形,<不知寫的好不好?>


是矩形啦!

『假設是B',那麼一定能用數片B'拼成與A相似之圖<因為B'是A組成的>』....這句話必須證明。

訪客 (未驗證)

2004-10-26 19:52
引用：

yl871809 寫道:
引用：

寫道:
引用：

寫道:
我寫說:
因可用數片A拼成與B相似的圖,假設是B',那麼一定能用數片B'拼成與A相似之圖<因為B'是A組成的>,令此圖是B".但B與B'相似,且用數片B可以拼成與數片B'組成之圖相似的圖形,所以用數片B可拼成與B"相似之圖,也就是說用數片B可拼成與A相似的圖形,<不知寫的好不好?>


是矩形啦!

『假設是B',那麼一定能用數片B'拼成與A相似之圖<因為B'是A組成的>』....這句話必須證明。


我不知道該如何證明,我只想到因為B'本身是A組成的,所以可行. 教一下吧! :-P :fight:

galois5

2004-10-26 23:59
引用：

galois5 寫道:
再補充一下：
在第2部分，有些討論要仔細些，一時之間表達的不是很清楚，等晚點在POST上來，或是有高手能補足，謝謝喔。 :-)

如果水平掃描，發現只有一種組合數(直橫都有)，可以把直的都排左邊，橫的排右邊，即可得A的長寬比為有理數。
當然，重排過的寬沒變，面積也相同，所以還是原來的圖形。 ;-)

訪客 (未驗證)

2004-10-27 21:59
引用：

galois5 寫道:
引用：

galois5 寫道:
再補充一下：
在第2部分，有些討論要仔細些，一時之間表達的不是很清楚，等晚點在POST上來，或是有高手能補足，謝謝喔。 :-)

如果水平掃描，發現只有一種組合數(直橫都有)，可以把直的都排左邊，橫的排右邊，即可得A的長寬比為有理數。
當然，重排過的寬沒變，面積也相同，所以還是原來的圖形。 ;-)


為何把直的都排左邊，橫的排右邊，即可得A的長寬比為有理數?
:pika:

訪客 (未驗證)

2004-10-27 22:03
引用：

寫道:
我寫說:
因可用數片A拼成與B相似的圖,假設是B',那麼一定能用數片B'拼成與A相似之圖<因為B'是A組成的>,令此圖是B".但B與B'相似,且用數片B可以拼成與數片B'組成之圖相似的圖形,所以用數片B可拼成與B"相似之圖,也就是說用數片B可拼成與A相似的圖形,<不知寫的好不好?>


我還滿同意你的看法，但我覺得好像得用點數學是證明吧。

galois5

2004-10-28 00:23

因為垂直長度=長的整數倍=寬的整數倍. :-)
引用：

寫道:
引用：

galois5 寫道:
引用：

galois5 寫道:
再補充一下：
在第2部分，有些討論要仔細些，一時之間表達的不是很清楚，等晚點在POST上來，或是有高手能補足，謝謝喔。 :-)

如果水平掃描，發現只有一種組合數(直橫都有)，可以把直的都排左邊，橫的排右邊，即可得A的長寬比為有理數。
當然，重排過的寬沒變，面積也相同，所以還是原來的圖形。 ;-)


為何把直的都排左邊，橫的排右邊，即可得A的長寬比為有理數?
:pika:

galois5

2004-10-28 00:30
引用：

寫道:
引用：

寫道:
我寫說:
因可用數片A拼成與B相似的圖,假設是B',那麼一定能用數片B'拼成與A相似之圖<因為B'是A組成的>,令此圖是B".但B與B'相似,且用數片B可以拼成與數片B'組成之圖相似的圖形,所以用數片B可拼成與B"相似之圖,也就是說用數片B可拼成與A相似的圖形,<不知寫的好不好?>


我還滿同意你的看法，但我覺得好像得用點數學是證明吧。


用A拼出相似B的方法來用B拼出相似A，好像行不通：
例如：A: 1*2, B 2*3, A 拼成 B：左邊二個橫的A加
右邊一個直得A. 這個方式 B 就沒辦法。

或章L程在修改一下...? :-)

訪客 (未驗證)

2004-10-28 19:56
引用：

galois5 寫道:
引用：

寫道:
引用：

寫道:
我寫說:
因可用數片A拼成與B相似的圖,假設是B',那麼一定能用數片B'拼成與A相似之圖<因為B'是A組成的>,令此圖是B".但B與B'相似,且用數片B可以拼成與數片B'組成之圖相似的圖形,所以用數片B可拼成與B"相似之圖,也就是說用數片B可拼成與A相似的圖形,<不知寫的好不好?>


我還滿同意你的看法，但我覺得好像得用點數學是證明吧。


用A拼出相似B的方法來用B拼出相似A，好像行不通：
例如：A: 1*2, B 2*3, A 拼成 B：左邊二個橫的A加
右邊一個直得A. 這個方式 B 就沒辦法。

或章L程在修改一下...? :-)


不,要把1*2拼成與2*3相似之圖,用四個1*2使其長為4寬為6即可.接下來就自己實際做做看吧.
p.s 事實上並不需要用數片A排直的加數片A排橫的組成與B相似之圖.全部直或橫也可行.因為重點是相似而不是相等.

galois5

2004-10-28 20:03
引用：

不,要把1*2拼成與2*3相似之圖,用四個1*2使其長為4寬為6即可.接下來就自己實際做做看吧.
p.s 事實上並不需要用數片A排直的加數片A排橫的組成與B相似之圖.全部直或橫也可行.因為重點是相似而不是相等.

沒錯，這就是題目的要求，可惜這兩個方式是不能一致的... ;-)

訪客 (未驗證)

2004-10-28 20:04
引用：

galois5 寫道:
引用：

不,要把1*2拼成與2*3相似之圖,用四個1*2使其長為4寬為6即可.接下來就自己實際做做看吧.
p.s 事實上並不需要用數片A排直的加數片A排橫的組成與B相似之圖.全部直或橫也可行.因為重點是相似而不是相等.

沒錯，這就是題目的要求，可惜這兩個方式是不能一致的... ;-)


什麼意思?

訪客 (未驗證)

2004-10-29 22:08
引用：

寫道:
我寫說:
因可用數片A拼成與B相似的圖,假設是B',那麼一定能用數片B'拼成與A相似之圖<因為B'是A組成的>,令此圖是B".但B與B'相似,且用數片B可以拼成與數片B'組成之圖相似的圖形,所以用數片B可拼成與B"相似之圖,也就是說用數片B可拼成與A相似的圖形,<不知寫的好不好?>


我來「翻譯」一下吧:
假設A的長寬為x,y.B的長寬為a,b.要使A拼成與B相似之圖,新圖B'的長寬分別必須為x和a,y和b的lcm的倍數.設新圖之長寬為nx,my.因為nx是a的倍數且my是b的倍數,所以nx:my=a:b.因為nx:my=a:b,所以用c片B'拼成之圖會與同樣用c片B拼成之圖相似.同樣的道理,要將B'拼成與A相似之圖,新圖之長寬為nx,x的lcm的倍數,my,y的lcm的倍數.但nx,x的lcm=nx,my,y的lcm=my.nx:my不一定等於x:y,但我們一定能找到二數e,f使得enx:fmy=x:y〈e,f=lcm[nx,y]/nx,lcm[my.x]/my.如此enx*y=fmy*x,enx:fmy=x:y〉也就是說能用數片B'可拼成與A相似之圖.但用c片B'拼成之圖會與同樣用c片B拼成之圖相似,所以用數片B可拼成與A相似之圖. :bathroom:

訪客 (未驗證)

2004-10-30 11:31
引用：

寫道:
引用：

寫道:
我寫說:
因可用數片A拼成與B相似的圖,假設是B',那麼一定能用數片B'拼成與A相似之圖<因為B'是A組成的>,令此圖是B".但B與B'相似,且用數片B可以拼成與數片B'組成之圖相似的圖形,所以用數片B可拼成與B"相似之圖,也就是說用數片B可拼成與A相似的圖形,<不知寫的好不好?>


我來「翻譯」一下吧:
假設A的長寬為x,y.B的長寬為a,b.要使A拼成與B相似之圖,新圖B'的長寬分別必須為x和a,y和b的lcm的倍數.設新圖之長寬為nx,my.因為nx是a的倍數且my是b的倍數,所以nx:my=a:b.因為nx:my=a:b,所以用c片B'拼成之圖會與同樣用c片B拼成之圖相似.同樣的道理,要將B'拼成與A相似之圖,新圖之長寬為nx,x的lcm的倍數,my,y的lcm的倍數.但nx,x的lcm=nx,my,y的lcm=my.nx:my不一定等於x:y,但我們一定能找到二數e,f使得enx:fmy=x:y〈e,f=lcm[nx,y]/nx,lcm[my.x]/my.如此enx*y=fmy*x,enx:fmy=x:y〉也就是說能用數片B'可拼成與A相似之圖.但用c片B'拼成之圖會與同樣用c片B拼成之圖相似,所以用數片B可拼成與A相似之圖. :bathroom:


Sorry,我打錯了,〈e,f=lcm[nx,y]/nx,lcm[my.x]/my.如此enx*y=fmy*x,enx:fmy=x:y〉應為〈e,f=lcm[nxy, myx/]/nx,lcm[nxy, myx/]/my〉才對.

訪客 (未驗證)

2004-10-31 11:26
引用：

寫道:
引用：

寫道:
引用：

寫道:
我寫說:
因可用數片A拼成與B相似的圖,假設是B',那麼一定能用數片B'拼成與A相似之圖<因為B'是A組成的>,令此圖是B".但B與B'相似,且用數片B可以拼成與數片B'組成之圖相似的圖形,所以用數片B可拼成與B"相似之圖,也就是說用數片B可拼成與A相似的圖形,<不知寫的好不好?>


我來「翻譯」一下吧:
假設A的長寬為x,y.B的長寬為a,b.要使A拼成與B相似之圖,新圖B'的長寬分別必須為x和a,y和b的lcm的倍數.設新圖之長寬為nx,my.因為nx是a的倍數且my是b的倍數,所以nx:my=a:b.因為nx:my=a:b,所以用c片B'拼成之圖會與同樣用c片B拼成之圖相似.同樣的道理,要將B'拼成與A相似之圖,新圖之長寬為nx,x的lcm的倍數,my,y的lcm的倍數.但nx,x的lcm=nx,my,y的lcm=my.nx:my不一定等於x:y,但我們一定能找到二數e,f使得enx:fmy=x:y〈e,f=lcm[nx,y]/nx,lcm[my.x]/my.如此enx*y=fmy*x,enx:fmy=x:y〉也就是說能用數片B'可拼成與A相似之圖.但用c片B'拼成之圖會與同樣用c片B拼成之圖相似,所以用數片B可拼成與A相似之圖. :bathroom:


Sorry,我打錯了,〈e,f=lcm[nx,y]/nx,lcm[my.x]/my.如此enx*y=fmy*x,enx:fmy=x:y〉應為〈e,f=lcm[nxy, myx/]/nx,lcm[nxy, myx/]/my〉才對.


你好像又打錯了〈e,f=lcm[nx,y]/nx,lcm[my.x]/my.如此enx*y=fmy*x,enx:fmy=x:y〉應為〈e,f=lcm[nxy, myx/]/x,lcm[nxy, myx/]/y〉!

訪客 (未驗證)

2004-11-01 21:13
引用：

yl871809 寫道:
引用：

孫文先 寫道:
A, B的長寬為無理數時怎麼辦？
孫文先敬上

糟！我沒有想到這一點，我的方法跟他一樣...
嗚~~~~＠﹜I
還好虛數是不能用長度表現出來的，不然不就更慘！？


答案若改成:
假設A的長寬為x,y.B的長寬為a,b.且令A拼成B相似之圖為B'.設其長寬為nx,my[n,m為正整數].且nx:my=a:b,所以所以用c片B'拼成之圖會與同樣用c片B拼成之圖相似.因B'的長寬為nx,my,所以只要將長再擴大為m倍,寬再擴大為n倍即可,因為mnx:nmy=x:y.也就是說能用m乘n[數]片圖B'拼成與A相似之圖,且用c片B'拼成之圖會與同樣用c片B拼成之圖相似,所以能用數片B拼成與A相似之圖.
[這樣應該就適用所有實數吧]

訪客 (未驗證)

2004-11-02 20:54
引用：

yl871809 寫道:
引用：

孫文先 寫道:
A, B的長寬為無理數時怎麼辦？
孫文先敬上

糟！我沒有想到這一點，我的方法跟他一樣...
嗚~~~~＠﹜I
還好虛數是不能用長度表現出來的，不然不就更慘！？


這樣應該有分數吧?