天平問題 | 財團法人台北市九章數學教育基金會

敬啟者：
寒假已至，為了協助大家排解無聊，特挑選一些精彩的天平問題供大家討論。
孫文先敬上

天平問題

1. 有68枚重量互不相同的硬幣，用天平在100次內要找出最重和最輕的硬幣，試說明該怎樣來做。（1985 Spring, Junior O-Level 2.）

2. 給定61枚外表相同的硬幣。其中有兩枚重量相同的假幣，其餘59枚是重量相同的真幣。已知假幣與真幣重量不同，但並不知道一枚假幣與一枚真幣哪一個較重。如何用一架天平進行三次秤量了解到底假幣較重，還是較輕？（並不要求將假幣從真幣中區分出來。）（1990 Spring, Junior O-Level 4.）

3. 己知在32個外觀相同的金幣中有兩個是假幣，這兩個假幣的重量與真幣的重量不同（每個真幣的重量都相等；兩個假幣的重量相等）。假若至多只能用天平秤4次（天平只能顯示兩堆金幣中，哪堆重量較重，或兩堆重量相等）。試問：如何將這32個金幣分為重量相等的兩堆？（2000 Autumn, Junior O-Level 4.）

4. 小凱有4個外觀相同的錢幣，小明告訴小凱說，這4個錢幣中有二個是真的、二個是假的。已知每個真幣的重量都相等，每個假幣的重量也都相等，而且一個真幣比一個假幣重。試問：小凱能不能最多只用天平秤兩次，就確定小明說的話到底對不對（也就是說確定小凱的4個錢幣到底是不是恰好有二枚真幣、二枚假幣）？（註：天平無法顯示刻度）（200l Autumn, Junior O-Level 3.）

5. (1)有二種不同重量的金幣共128枚，每一種各64枚。試問：如何使用沒有刻度的天平，在秤不超過7次的惰形下，找出二枚不同重量的金幣？

(2)有二種不同重量的金幣共8枚，每一種各4枚。試問：如何使用沒有刻度的天平，在只秤2次的情形下，找出二枚不同重量的金幣？（2002 Spring, Junior O-Level 5.）

6. 已知有六片重量都不相等的乳酪可以分為二堆，每堆各有三片，且總重量相等。假設對於任何二片乳酪，我們都可以經由目測明顯地分辨出何者較重。試問：如何使用沒有刻度的天平只秤2次，就可以把這六片乳酪分為各有三片，且總重量相等的二堆？（2002 Spring, Senior O-Level 3.）

7. 有一組砝碼，其質量均為2的冪次方：1克、2克、4克、…等等，其中有些砝碼可以有同樣的質量。在一架天平的兩邊放上一些砝碼，使兩邊平衡。已知左邊的砝碼是各不相同的。證明：在天平右邊的砝碼個數不會少於左邊的個數。（1988 Spring, Junior A-level 4.）

8. 滿足以下要求的一組砝碼被稱為一個基本組：

(A)組中每個砝媽的重量都是整數。

(B)組中所有砝碼重量的總和等於200。

(C)任何不超過200的整數重量都可用組中唯一確定的一些砝碼通過天平秤出（「唯一」的含義不涉及到用來秤重的砝媽的排列次序，也不涉及到在兩個等重的砝碼中選用哪一個—假若有這種選擇的可能，且規定秤的時候，物體放一邊，砝碼放一邊）。

(1)顯然200個重量為1的砝碼組成一個基本組。試舉出不同於這種簡單情形的另一個基本組。 (2)總共有多少個不同的基本組？（1990 Spring, Junior A-level 6.）

9. 50枚銀幣按重量順序排成一行。51枚金幣也按重量順序排成一行。已知所有這些硬幣重量各不相同。給定一架天平，每次允許比較任選的兩枚硬幣的重量。怎樣通過7次比較，準確判定哪一枚硬幣的重量居中？（所謂「居中」是指：若將這10l枚硬幣按重量順序排成一行，該枚硬幣恰排在第51位。）（1992 Spring, Junior A-level 5.）

10. 是否存在k個整數克重的砝碼（不同砝碼可能有相同重量），用天平可以秤出從1克到55克重的任何物體，甚至少了幾個砝碼也能做到這點。對下面兩種特殊情形存在嗎？（規定秤的時候，物體放一邊，砝碼放一邊。）

(1)k＝10，少了任何一個砝碼。

(2)k＝12，少了任何兩個砝碼。（1993 Autumn, Junior A-level 6.）

11. 有十個砝碼，重量分別為1、2、4、8、16、32、64、128、256及512克。有一物體為M克重，其中M為正整數。由於可以用多種砝碼的組合用天平來秤出該物體的重量。試證：

(1)沒有任何物體可以用多於89種不同砝碼的組合方式秤出重量。

(2)試求出重量M，使得重量M的物體可以用89種不同砝碼的組合方式秤出來。

（1997 Spring, Junior A-Level 7.）

12. 現有1997個物體，其重量分別為m＝1、2、…、1997。設它們可以用有20個砝碼的天平分辨出其重量（規定秤的時候，物體放一邊，砝碼放一邊）。試求最重砝碼的最小可能值：

(1)如果砝碼重量全是整數。

(2)如果砝碼重量不全是整數。（1997 Spring, Senior A-Level 3.）

13. 有100個砝碼，它們的質量分別為1、2、3、…、100克，在所有可以將這100個砝碼分成二組放在天平的兩邊，使它們平衡的方法中，試證：一定可以從天平之兩邊各拿掉兩個砝碼，而不影響天平的平衡。（1999 Autumn, Junior A-Level 3.）

練習題

E1. 2003個硬幣中有20個假幣，假幣不知比真幣重，還是比真幣輕，但知道假幣與真幣重量相差1公克。現有一架能指出兩臂上物品重量之差的天平。從2003個硬幣中任取出一個硬幣，您能否只用天平秤一次即判斷出其為真幣或假幣？

E2. 有14個硬幣，有位專家宣稱他發現這些硬幣中有7個是真的，7個是假的，並且知道哪個是真的，哪個是假的。而我們只知道真幣的重量均相同，假幣的重量均相同，但比真幣重。請問這位專家如何用天平秤三次就可以說服我們同意他的判斷？

E3. 能否只用無砝碼的天平秤7次，即可將5件不同重量的物品，依輕重排出其順序？

E4. 五件重量為10、20、30、40、50之物品，能否用無砝碼的天平秤5次將其依輕重排出其順序？

E5. 用有砝碼的天平要秤出1～40克之間任意整數克的物品，

(A) 砝碼只能放在天平的一側。

(B) 砝碼可以任意放在天平的二側。

(1) 請問最少各要用幾個砝碼？它們的重量分別是多少？

(2) 承上題(B)，如何秤25克的物品？左盤放哪些砝碼，右盤放哪些砝碼？

E6. 有重量為1、2、…、27克的物品各1個，最少用幾個砝碼可分辨出其重量？這些砝碼的重量各是多少克？（不限秤1次；已秤出的物品不可以當作砝碼；法碼可以任意放在天平的二側。）

國中

回應

shao