環球城市數學競賽2005春季賽國中組初級卷第一題

我覺得這提最難耶！未知數太多了，竟然只有三分

這題...很簡單吧？
畫圖就好了呀

但是國1的考生不超前學一些國2,3的東西的話,很多環球的題目也是沒辦法解開的.

可不可以這樣解:
設小丁時速a公里,小王小王每小時走b公里,兩人第一天各走x小時,再X點相遇.所以ax=XA,bx=XB.然而,第二天小丁早30分鐘出發,所以多走a/2公里.此時小王才出發,兩人相遇於Y點.且XY=2,所以〈ax+2-a/2〉/a=〈bx-2〉/b.也就是說x+2/a-1/2=x-b/2.可推得:2/a+2/b=1/2 ... [1].
另一方面,第三天換小王早30分鐘出發.因第一天相遇於X點,且今天小王早30分鐘出發,所以Z點必再XA上.
設XZ=c.所以:〈bx+c-b/2〉/b=〈ax-c〉/a.
可推得c/a+c/b=1/2.根據1式可得c/a+c/b=1/2=2/a+2/b,所以c只能=2,所以XZ=2公里.

引用：

孫文先 寫道:
大部份的人都用代數方法，先設了一大堆未知數，經過一些複雜的運算後才求出答案。
事實上本題有一個非常初等的做法：
假設第一天相遇時A走了a. B走了b. (a+b為AB之距離)
第二天、第三天合在一起A, B都走相同的時間，故這二天A走了2a. B走了2b.
第二天A走了a+2，所以第三天走了2a-a-2=a-2。所
以答案為2。

這個題目充分顯現了我們的教育把學生敏銳的數學思維磨鈍了，只會套公式解題，而沒有自己的想法。這也是我反對超前學習的主因。

孫先生雖然是這麼說，但是在今年三四月對於參加九章國小數學選拔賽入選學生的訓練教材，卻包含了「對數」及「同餘」觀念，當唸小五的孩子回來問我什麼是log 和mod時，我心中真是充滿了無奈。因為記憶中對數是國中教的，至於mod更是高中才教，為了確定，我還去書局翻了一下書，才知道現在國中早就沒教對數(高一下學期才教)，至於mod，也仍然是高一的教材，這樣的題材教給小學生，他們聽得懂嗎？只怕從九章訓練回來後，又要去補習班問老師才知道什麼是對數或是同餘吧。

能參加九章國小數學選拔賽培訓者都是最頂尖的高手，我講義中用mod的記號只是方便敘述，在培訓當中均有詳細解說，我相信大部份的學生應該可了解。我的內容未涉及mod及log的運算，純粹只是記號，別對您小孩求知的精神太緊張，更千萬別送他去補習班，否則我就是罪過了！
下次我要修改掉這些令您無奈的記號，不過希望下次有機會歡迎培訓時您也能陪著孩子一起聽課，相信您也會發現我的講課讓您印象深刻。
孫文先敬上

引用：

寫道:
可不可以這樣解:
設小丁時速a公里,小王小王每小時走b公里,兩人第一天各走x小時,再X點相遇.所以ax=XA,bx=XB.然而,第二天小丁早30分鐘出發,所以多走a/2公里.此時小王才出發,兩人相遇於Y點.且XY=2,所以〈ax+2-a/2〉/a=〈bx-2〉/b.也就是說x+2/a-1/2=x-b/2.可推得:2/a+2/b=1/2 ... [1].
另一方面,第三天換小王早30分鐘出發.因第一天相遇於X點,且今天小王早30分鐘出發,所以Z點必再XA上.
設XZ=c.所以:〈bx+c-b/2〉/b=〈ax-c〉/a.
可推得c/a+c/b=1/2.根據1式可得c/a+c/b=1/2=2/a+2/b,所以c只能=2,所以XZ=2公里.

到底能不能如此解阿! [我沒參加大賽]

1.小丁與小王每天都以固定的等速分別由A、B兩地相向而行(兩者之速度不必相同)。第一天他們在點

X相遇；第二天小丁提早30分鐘出發，結果他們在點Y相遇，點Y在線段XB上且XY之長度為2公里。

請問若第三天小王提早30分鐘出發，他們在點Z相遇，請問XZ之長度為多少公里?(3分)



[ANSWER] 此題 利用假設數字 配出來的 不是正式 解法

假設一 A B 兩地距離 20KM
兩人相遇點 AX = 10KM XB=10KM

小丁的時速 是 4KM/HR 或是 6KM/HR 或是 8KM/HR

若是 6KM/HR
則第二天 小丁 早走 0.5HR 早走的距離=6 KM/HR * 0.5HR = 3KM
剩下 20KM-3KM = 17 KM 兩人會在 中點相遇 17/2 = 8.5 KM
8.5KM + 3KM= 11.5KM = AY
XY = AY - AX = 11.5 -10 =1.5KM 故假設 小丁時速 6 KM/HR 是錯誤的

同樣的假設
若 小丁的時速是 8KM/HR
則第二天 小丁 早走 0.5HR 早走的距離=8 KM/HR * 0.5HR = 4KM
剩下 20KM-4KM = 16 KM 兩人會在 中點相遇 16/2 = 8 KM
8KM + 4KM= 12KM = AY
XY = AY - AX = 12 -10 =2KM 故假設 小丁時速 8 KM/HR 是正確的

若小王第三天 早走 0.5HR
小王時速 8KM/HR 8*0.5= 4KM
剩下 20KM - 4KM = 16KM 走在中點 相遇 16KM/2 = 8KM
8KM+4KM= 12KM = BZ
故 XZ = BZ - BX = 12KM - 10KM = 2KM

1.小丁與小王每天都以固定的等速分別由A、B兩地相向而行(兩者之速度不必相同)。第一天他們在點

X相遇；第二天小丁提早30分鐘出發，結果他們在點Y相遇，點Y在線段XB上且XY之長度為2公里。

請問若第三天小王提早30分鐘出發，他們在點Z相遇，請問XZ之長度為多少公里?(3分)



[ANSWER] 此題 利用假設數字 配出來的 不是正式 解法

假設一 A B 兩地距離 20KM
兩人相遇點 AX = 10KM XB=10KM

小丁的時速 是 4KM/HR 或是 6KM/HR 或是 8KM/HR

若是 6KM/HR
則第二天 小丁 早走 0.5HR 早走的距離=6 KM/HR * 0.5HR = 3KM
剩下 20KM-3KM = 17 KM 兩人會在 中點相遇 17/2 = 8.5 KM
8.5KM + 3KM= 11.5KM = AY
XY = AY - AX = 11.5 -10 =1.5KM 故假設 小丁時速 6 KM/HR 是錯誤的

同樣的假設
若 小丁的時速是 8KM/HR
則第二天 小丁 早走 0.5HR 早走的距離=8 KM/HR * 0.5HR = 4KM
剩下 20KM-4KM = 16 KM 兩人會在 中點相遇 16/2 = 8 KM
8KM + 4KM= 12KM = AY
XY = AY - AX = 12 -10 =2KM 故假設 小丁時速 8 KM/HR 是正確的

若小王第三天 早走 0.5HR
小王時速 8KM/HR 8*0.5= 4KM
剩下 20KM - 4KM = 16KM 走在中點 相遇 16KM/2 = 8KM
8KM+4KM= 12KM = BZ
故 XZ = BZ - BX = 12KM - 10KM = 2KM

引用：

寫道:

引用：

寫道:
可不可以這樣解:
設小丁時速a公里,小王小王每小時走b公里,兩人第一天各走x小時,再X點相遇.所以ax=XA,bx=XB.然而,第二天小丁早30分鐘出發,所以多走a/2公里.此時小王才出發,兩人相遇於Y點.且XY=2,所以〈ax+2-a/2〉/a=〈bx-2〉/b.也就是說x+2/a-1/2=x-b/2.可推得:2/a+2/b=1/2 ... [1].
另一方面,第三天換小王早30分鐘出發.因第一天相遇於X點,且今天小王早30分鐘出發,所以Z點必再XA上.
設XZ=c.所以:〈bx+c-b/2〉/b=〈ax-c〉/a.
可推得c/a+c/b=1/2.根據1式可得c/a+c/b=1/2=2/a+2/b,所以c只能=2,所以XZ=2公里.

到底能不能如此解阿! [我沒參加大賽]

我的問題是能不能如此解,不是叫你解給我看阿!