1 + 2 + 3 + .... + (n-1) + n = n(n+1)/2
1^2 + 2^2 + ..... +(n-1)^2+ n^2 = n(n+1)(2n+1)/6
1^3 + 2^3 + ..... +(n-1)^3+ n^3 = ？
1^4 + 2^4 + ..... +(n-1)^4+ n^4 = ？
1^5 + 2^5 + ..... +(n-1)^5+ n^5 = ？
....
...
..
1^2 + 2^2 + ..... +(n-1)^2+ n^2 = ？

看起來好難.....
國中

回應

gkw0824usa

2005-03-20 07:30
1^3 + 2^3 + ..... +(n-1)^3+ n^3 =n^2(n+1)^2/4
1^4 + ..... +(n-1)^4+ n^4 =n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n+1)/30
1^5 + ..... +(n-1)^5+ n^5 =n^2(n+1)^2(2n^2+2n-1)/12

訪客 (未驗證)

2005-03-20 13:16
要知道1^n+2^n+3^n...+x^n
只需知道之前(n-1)次,(n-2)次...
n種次數和的公式解

例如,你想知1^3+2^3+3^3...(n-1)^3+n^3=?
則(n+1)^4-n^4=4(n^3)+6(n^2)+4n+1
n^4-(n-1)^4=4(n-1)^3+6(n-1)^2+4(n-1)+1
....
3^4-2^4=4(2^3)+6(2^2)+4(2)+1
2^4-1^4=4(1^3)+6(1^2)+4(1)+1

左式全部相加=右式全部相加
(n+1)^4-1=4(n^3+..+1^3)+6(n^2+..+1^2)+4(n+..1)+n

4(1^3+2^3+...(n-1)^3+n^3)
=(n+1)^4-6(n^2+..+1^2)-4(n+..1)-n-1
=(n+1)^4-6n(n+1)(2n+1)/6-4n(n+1)/2-n-1
=(n+1)[(n+1)^3-2n^2-n-2n-1]
=(n+1)[n+1)^3-2n(n+1)-(n+1)]
=(n+1)^2[(n+1)^2-2n-1]
=n^2(n+1)^2
最後
4(1^3+2^3+...(n-1)^3+n^3)=n^2(n+1)^2
1^3+2^3+...(n-1)^3+n^3=n^2(n+1)^2/4
只要運用二項式定理,其除所有的次也可找出來