海龍公式的証明

http://www.htjh.tpc.edu.tw/math/LSC/%AE%FC%C0s%A4%BD%A6%A1.htm
之前聽老師講過

設一三角形三邊分別為a，b，c
在b上做一個高，將b分割為x和b-x，高為h
a^2-x^2=c^2-(b-x)^2
a^2-x^2=c^2-(b^2-2bx+x^2)
a^2-x^2=c^2-b^2+2bx-x^2
2bx=a^2+b^2-c^2
x=a^2+b^2-c^2/2b......[1]

三角形面積=bh/2
三角形面積的平方=b^2h^2/4
利用畢氏定理
三角形面積的平方=b^2/4(a^2-x^2).........(帶入[1])
=b^2/4{a^2-[(a^2+b^2-c^2)^2/4b^2]}
=b^2/4{[4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]/4b^2}
=[2ab^2-(a^2+b^2-c^2)^2]/16
=[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]/16
=[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]/16
=[(a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b)]/16
帶入s=(a+b+c)/2
=[2s(2s-2c)(2s-2b)(2s-2a)]/16
=s(s-a)(s-b)(s-c)
三角形面積=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]