環球城市數學競賽2005秋季賽國中組高級卷第五題

我寫了3組答案
若x y z是連續質數 則N=300(1+4n)
一樣大 N=300x
為偶數設x=2m y=2n z=2w
N=2(99m+100n+101w)
這是答案 過程寫在答案紙上不寫在這兒
桃園縣中興國中 某李

我不知道ㄝ 我就這樣寫 我同學跟我差不多
某李

引用：

ej0cl6 寫道:
令N為正整數，已知方程式99x+100y+101z=N恰有一組正整數解，試求N的最大值。(七分)

"恰有一組解"我猜應該是"只有一組解"的意思，否則N可以無限大(若N>10299，那X,Y,Z就會有二組解)。
所以最大值應是499

99x+100y+101z=N
N=499未免也太小了吧?
像x=1 y=1 z=50 N=5249 解也是唯一的ㄚ
這不代表正確解答 祇是臨時想到而已拉.....
我沒有去考 ><

反例：
N=500
99*1+100*3+101*1=500
99*2+100*1+101*2=500
N的最大值以內的數皆不會有二組解

永和國中某位

5251

完蛋了.......我寫5150....

怎摸辦阿....我寫5150.....

我還都沒寫呢

5251應該是正解吧
5252--(49-3-1)、(50-2-2)

引用：

zachary0622 寫道:
我的方法不知道算不算胡謅出來的...
我是寫：
1.x和z不能同時大於1，因為101+99=200，可以把一個99和一個101換成2個100，這樣正整數解就不只一組。
2.[99,100]=9900=99*100=100*99
所以x不得大於100,y不得大於99不然會被換掉。
3.同理可得：
x最大值為100，y最大值為99，z最大值為99
且x和z至少有一者為1，才會只有一組整數解。
又x=1,z=99時的N會大於x=100,z=1時的N
我的答案是──N的最大值=99*1+100*99+101*99
=99+9900+9999
=19998
(p.s.：這裡一定有一個什麼大漏洞，可是我自己找不到...還是我根本就看錯題意了？)

我前面推論跟你一樣 不過後面就不一樣了
首先x=1正確
但y因該是這樣
n為大於2的偶數 m為大於1的奇數
y=100 x n
=(99+101)x(偶數-1)/2+100
or
y= 100xm
=(99+100)x(奇數-1)/2+100
由此可見y如果大於2就會有2組解
又N要最大值
所以y=2

在來就是z
z=101xn
=(100+1)(n-1)+101
or
z=101xm
=(100+1)(m-1)+101
若(n-1)跟(m-1)大於50
則就會有兩組解(方法類似y的方法)
最多就是z=50
所以我算出來是
x=1 y=2 z=50 (p.s 如果有人看不懂我晚點會在上線解釋清楚)
A:5349
台中縣 明道中學 張xx(不是高雄的道明-..-)

沒人有問題唷?(因為趕著去玩所以後面有點隨便-.-)





台中縣 明道中學 張xx (不要在我把當作道明的學生 -.-)

更正一下

若(n-1)跟(m-1)大於"49" <---這邊改成49 抱歉寫太快寫錯

5349=(52,1,1)--(1,2,50)
故5349不是正解

引用：

寫道:
5349=(52,1,1)--(1,2,50)
故5349不是正解

我知道錯在哪了...
Z=50的話
(100+1)49 +101
=49x100+49 +101
=99x49+98 +101
如果單看Z的話是沒錯
可是把y=2考慮進去就會發現
100+100+99x49+98 +101
= 99x51+100 +101
也就是說要把y or z減去1
但N要最大值那就把y-1吧
x=1 y=1 z=50
A:5249 (因該不會又錯了吧....)(7分沒了~_~)

引用：

我知道錯在哪了...
Z=50的話
(100+1)49 +101
=49x100+49 +101
=99x49+98 +101
如果單看Z的話是沒錯
可是把y=2考慮進去就會發現
100+100+99x49+98 +101
= 99x51+100 +101
也就是說要把y or z減去1
但N要最大值那就把y-1吧
x=1 y=1 z=50
A:5249 (因該不會又錯了吧....)(7分沒了~_~)

x跟我寫法一樣沒問題，y也能理解，可是z的推論方式有點不懂...

z的寫法是這樣...
(100+1)n+101 (n=z-1)
我只討論左邊 右邊的101只是確保z=1
我分為(100+1)只是認為 比較好判斷沒有特別的意義

100n+n
我的想法是把這2個數分為99的倍數+100的倍數
所以我就從100n 要(99-n)個1給n 把n補為99
補為99是因為它最小...
然後就是判斷出n=49時無法再分(這是單看z)
然後再看y就是我上面的結果了

引用：

寫道:
5251應該是正解吧
5252--(49-3-1)、(50-2-2)

大家應重視這個答案。

孫文先敬上

引用：

寫道:

引用：

寫道:
5251應該是正解吧
5252--(49-3-1)、(50-2-2)

大家應重視這個答案。

孫文先敬上

當初再想這題時，破題的方法是十位數及個位數
因為50在1-99的中間，所以很快就寫下5250
但後來驗算後才知道5251成立而5252不成立
→設N=99(a+1)+100*b+101*1
=200+99a+100b
當a=49 b=1→5151---{1}
當a=50 b=1→5250---{2}
當a=51 b=1→5349---{3}
設N又等於99*1+100*m+101*(n+1)
=200+100m+101n
當n=49 m=1→5249---{4}
當n=50 m=1→5350---{5}
當n=51 m=1→5451---{6}
以上六式，若增加200則有兩種方式(99,100,101)
=(1,0,1)(0,2,0)
故不會再增加200以上
則考慮100
結合{1}{6}→5251{2}{5}→5250{3}{4}→5249
{若其他數，尾數如1,2,3,97,98,99之類，則可按照上面若增加200則有兩種方式(99,100,101)
=(1,0,1)(0,2,0)}
因此5251--得証
高雄縣 鳳西國中 林◎◎

5251>4951..
它題目是問最大值
高雄縣 鳳西國中 林◎◎

請問孫老師，解答何時公佈??
(題目已經公佈了)

答案應該是101x99+100x1+99x1=10198吧
只用y=2是有盲點的!!

引用：

寫道:
5251>4951..
它題目是問最大值
高雄縣 鳳西國中 林◎◎

(A)考慮99a+100b=101t
參數解可得 a= -101t + 100 k
b= 101t - 99 k
其中a,b非負整數 不同時為 0
t為正整數
k為整數
欲求t的最小值
利用a,b >= 0
可得 (100/101)k >= t >=(99/101)k
故 k - k/101 >= t >= k - 2k/101
=> k >= 51 , t>=50
故 z<=50
所以 x=1, y=1 的最大值是 99+100+101x50=5249
(B)同理 考慮 100a + 101b = 99t
可得 x<= 51
所以 y=1, z=1 的最大值是 99x51+100+101=5250
(C)x=1,y=2 需考慮
99a-100 =101t 及
99a+100b=101t
上式由參數解, 可得 t>=49 故 z<=49
下式 by (A) 知 t >=50 則 z<=50
但是兩者是同時考慮,故z<=49
最大值是 99 + 100x2 + 101x49= 5248
(D)z=1, y=2 需考慮
101a- 100 = 99t 及
101a+100b=99t
上式由參數解,可得t>=50 故x<=50
下式 by (B) 知 x<=51
兩者同時考慮,故x<=50
最大值是 99x50+100x2+101x1= 5251
由於(A)(B)(C)(D)是所有情形,比較之後,可得最大值為 5251！！

引用：

寫道:
答案應該是101x99+100x1+99x1=10198吧
只用y=2是有盲點的!!

引用：

寫道:
5251>4951..
它題目是問最大值
高雄縣 鳳西國中 林◎◎