設n , p 為正整數 , 則 (5n)!/( p^n) 為正整數時 , p 的最
大值為何 ?
國中

回應

s87009812

2005-11-07 21:09
P最大值=720
解：
5n!含有2的因數有[5n/2]+[5n/4]+[5n/8]+…＜(5n/2)+(5n/4)+(5n/8)+…=5n
5n!含有3的因數有[5n/3]+[5n/9]+[5n/27]+…＜(5n/3)+(5n/9)+(5n/27)+…=5n/2
5n!含有5的因數有[5n/5]+[5n/25]+[5n/125]+…＜(5n/5)+(5n/25)+(5n/125)+…=5n/4
5n!含有x的因數有[5n/x]+[5n/(x^2)]+[5n/(x^3)]+…＜(5n/x)+(5n/x^2)+(5n/x^3)
+…=5n/(x-1)
若x≧7，則5n/(x-1)＜n，又(5n)!/( p^n) 為正整數，
所以P不可能含有7以上的質因數且P的最大值=2^4*3^2*5=720
例n=5時，25!=2^22*3^10*5^6*…=(2^4*3^2*5)^5*…，此時P的最大值=2^4*3^2*5=720
備註：其中[ ]表高斯符號

轉貼FROM昌爸....

訪客 (未驗證)

2005-11-07 22:52
先來一題, 開胃菜; 再來一題, 延展題.
本題是中午貼的.
開胃菜及延展題如下

開胃菜
設n 為正整數 , 則 (5n)!/((2^n)(6^n)) 為正整數時 ,請證明之.

延展題:
設n , p 為正整數 , 則 (5n)!/( p^n) 為正整數時 , p 的最大值為何 ?

顏榮皇敬上

s87009812

2005-11-08 17:46
開胃菜:
因為2^n*6^n=12^n
但任意五個連續整數相乘必有120的因數.
而n個五個連整續數相乘則有n個120的因數.
所以得証.

延展題如上.