證明連續五個自然數的成績不是完全平方數
高中

回應

s87009812

2005-11-17 17:48
不妨設五連續自然數為x, x+1, x+2, x+3, x+4.
而全部相乘所得的積,會有一項為x^5.
所以,它不是一個完全平方數.

ej0cl6

2005-11-17 18:23
這樣證不行吧...

雖然出現x^5次..
但加上後面的數字有可能成為y^2啊..

s87009812

2005-11-17 20:05
對喔,我之前沒注意到. 好吧,用最笨的方法.
數五自然數為:x-2 x-1 x x+1x+2
(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2)=x(x^2-1)(x^2-4)=x^5-5x^3+4x. 剩下的,我應該不用多說了吧...

訪客 (未驗證)

2005-12-01 02:04
這樣也叫證明????
那好 我證明世界難題 a^n+b^n=c^n
在n>2沒有正整數解
首先
c^n-b^n=(c-b)(c^(n-1)+....+b^(n-1))=a^n

剩下的，不用我說了吧 (<-沒錯 學你的!)
好我證明了!



???

Gauss

2005-12-02 08:54
你们也太水了吧，这种问题都要这样讨论 :-x
引用：

寫道:

孫文先

2005-12-02 17:04
大哥切莫笑，台灣學生數學知識或酗ㄕp大陸學生，但在他們踉蹌爬行之下，也有得到解答的一天。這樣獲得的成果更深刻，對於數學能力的培養更有助益。這也就是我為什麼任由大家發表想法，而不直接提供答案的主因。
歡迎您提供您的想法。

訪客 (未驗證)

2005-12-02 19:16
那不是數學強不強的問題
而是科學精神的欠缺
動機可能是出於表明自己較為優越
講出來的想法提議
只能用一團屎來形容
還自己假裝不知道

我也是台灣人不過我真的很鄙視這種人
跟他討論數學一定很累

s87009812

2005-12-02 22:22
引用：

寫道:
那不是數學強不強的問題
而是科學精神的欠缺
動機可能是出於表明自己較為優越
講出來的想法提議
只能用一團屎來形容
還自己假裝不知道

我也是台灣人不過我真的很鄙視這種人
跟他討論數學一定很累


那,這位仁兄阿...
請問你對這題又有何高見呢?
連那個證明都不願給出的你,
還在這裡自以為是,不更是一團屎嗎?
所謂的"剩下的我就不多說了吧"是因為我知道各位一定知道接下來該如何證明,而如果你連這個都不懂,那我也沒話可說了...

Cauchy

2005-12-02 22:23
用反证法：
1、假设结论不成立；
2、我们证明假设不成立，可以找到一组反例
1*2*3*4*5=120不是完全平方；
3、所以假设不成立；
4、所以命题成立。

s87009812

2005-12-02 22:31
這樣應該不行吧.
因為他要證明的是:
5個連續整數不為完全平方數.
意思是:任意5個連續整數絕非完全平方數.
但是閣下只給出一怎反例呀.

我覺得這裡用反證法不太好...

訪客 (未驗證)

2005-12-02 22:54
什麼不太好
而是根本不行
"所有五個連續自然數的乘積不是完全平方"
的否定敘述是
"存在五個連續自然數的乘積是完全平方"
而不是
"所有五個連續自然數的乘積都是完全平方"
犯了邏輯上的錯誤


訪客 (未驗證)

2005-12-02 23:19
呵呵

我雖然不怎麼爭氣不過也還不算是一團屎
不答是因為我好歹也是高三了
數學競賽並不是沒接觸過
該碰到的問題早就碰過
把早就做過的解答抄上來逞英雄也是十分沒出息

抱歉剛剛心情不太好
出言也就糟糕了些
不如你把原本要說的話講完
說不定別有新意
那我也收回屎說
兄弟意下如何?

訪客 (未驗證)

2005-12-03 10:43
看似簡單的題目........

Gauss

2005-12-04 11:46
五个数为Ｘ－２，Ｘ－１，Ｘ，Ｘ＋１，Ｘ＋２将Ｘ分奇偶讨论Ｘ为奇时，乘积为Ｘ（Ｘ＾２－１）（Ｘ＾２－４）这时可知若五数乘积为平方数，Ｘ亦为平方数，设Ｘ＝Ｙ＾２，原式等于Ｙ＾２（Ｙ＾４－５*Ｙ＾２＋４）再讨论即可，偶数同法．五分钟就可以做出来了

訪客 (未驗證)

2005-12-04 14:19
x^5-5x^3+4x無法分成兩個相等的式子的乘積.
因為若一個式子代入任何數都是完全平方數,則此式子可被分成兩個相等的式子的乘積.

s87009812

2005-12-04 15:46
忘記登入了...
x^5-5x^3+4x無法分成兩個相等的式子的乘積.
因為若一個式子代入任何數都是完全平方數,則此式子可被分成兩個相等的式子的乘積.

p.s.原來你是高三阿... 那我大概跟你差個5年吧..
(我國二.) 閣下之前的語氣,似乎有點以大欺小.. 之前我的証法是沒有說的很完全,沒有錯. 但是你也不應該這樣說吧.... 後來你打的話,語氣是有委婉了些...但是還是有點嘲諷的味道呢.

訪客 (未驗證)

2005-12-04 18:56
原來你是誤解題意了
這題並不是說帶入任何數都會變完全平方
而是說不管你怎麼代都不會變成完全平方數




現在我看到另一個人有問題了

那個自稱 Gauss 的
講話真夠白爛
不知你講不講的出 X 怎麼會一定要是完全平方數

訪客 (未驗證)

2005-12-04 19:43
大學學測剩沒幾天
態度有問題的人在現實生活中自然會有人排擠他
我要停止上網吵架了
也停止干擾九章討論版的和平

s87009812

2005-12-04 21:00
引用：

寫道:
原來你是誤解題意了
這題並不是說帶入任何數都會變完全平方
而是說不管你怎麼代都不會變成完全平方數




現在我看到另一個人有問題了

那個自稱 Gauss 的
講話真夠白爛
不知你講不講的出 X 怎麼會一定要是完全平方數


不不不!
應該是閣下您誤解我的意思了..
"因為若一個式子代入任何數都是完全平方數,則此式子可被分成兩個相等的式子的乘積."
此句話是在說明,因為我的那個式子無法被分為兩個相等的式子的乘積,所以他不是一個完全平方數.

訪客 (未驗證)

2005-12-04 22:58
x^3+1 不可被分解成兩個式子的乘積
但 2^3+1=9

訪客 (未驗證)

2005-12-04 23:01
不可被分解成兩個"相等"式子的乘積

訪客 (未驗證)

2005-12-05 20:01
引用：

寫道:
不可被分解成兩個"相等"式子的乘積


對喔... 既然這樣,我換個方式好了:
首先,5個連續正整數中,只有1個可能是5的倍數(至於這個,自己想想為什麼.) 而一定有2個偶數. 而那2個偶數在乘以5的倍數那個數會得出一個數字,設它為10a. 但是此數字的10位數一定不為0. 所以,它不是個完全平方數.

ej0cl6

2005-12-05 20:18
引用：

但是此數字的10位數一定不為0.


若連續五個數中..有一數為25的倍數..
像是25*26*27*28*29=14250600
10位數就會為零了..這樣證明好像有缺點= =

Cauchy

2005-12-07 12:40
引用：

寫道:
原來你是誤解題意了
這題並不是說帶入任何數都會變完全平方
而是說不管你怎麼代都不會變成完全平方數




現在我看到另一個人有問題了

那個自稱 Gauss 的
講話真夠白爛
不知你講不講的出 X 怎麼會一定要是完全平方數


不知说什丹n，GAUSS的证明我看过没问题啊.略有竞赛常识的人都看的懂。
X为平方数是由于X为奇数，得到X与（X^2-4）和（X^2-1）互质。所以X为平方数！
人家GAUSS真强啊！

31frank

2005-12-10 18:57
引用：

孫文先 寫道:
大哥切莫笑，台灣學生數學知識或酗ㄕp大陸學生，但在他們踉蹌爬行之下，也有得到解答的一天。這樣獲得的成果更深刻，對於數學能力的培養更有助益。這也就是我為什麼任由大家發表想法，而不直接提供答案的主因。
歡迎您提供您的想法。


孙老师说得好。请相信我和同学只是一时贪玩，并无态度问题。
GAUSS后来给出的证法我认为是无错的。
倒是那位激动的访客叫我不知说什丹n。提出点有建设性的建议怎样？？

Cauchy

2005-12-10 20:01
引用：

31frank 寫道:
引用：

孫文先 寫道:
大哥切莫笑，台灣學生數學知識或酗ㄕp大陸學生，但在他們踉蹌爬行之下，也有得到解答的一天。這樣獲得的成果更深刻，對於數學能力的培養更有助益。這也就是我為什麼任由大家發表想法，而不直接提供答案的主因。
歡迎您提供您的想法。


孙老师说得好。请相信我和同学只是一时贪玩，并无态度问题。
GAUSS后来给出的证法我认为是无错的。
倒是那位激动的访客叫我不知说什丹n。提出点有建设性的建议怎样？？


支持

訪客 (未驗證)

2005-12-10 20:09
本來有點不想回復乾脆隱沒算了
不過想想這樣未免有些不負責任


我對 Gauss 的過度批評大概來自偏見吧
從看到他用這個名子開始就不喜歡
而他解這題的過程只寫一半
把麻煩的通通留給別人
然後呼曰"五分鐘就可以解決了"
無非是想炫耀

其他的文中也大都是類似的行為

一個人即便真的具有過人天分
這樣講話也只會惹人討厭
而目前為止他只給我一種自視甚高的感覺



不過既然被要求要發表的具有些建設性
這會我也終於感到自己建設性有些不足
言論攻擊無非只是在主持自己認為的正義

我想大家聚在數學討論版上
大抵都是同好
而同好之間似乎也有必要和平相處的
我的前幾篇發言刺激挑起了一些不必要的爭端
在此對這幾位同好都說聲抱歉

bobby

2006-01-03 22:37
設這五個數為x-2 ，x-1 ，x，x+1，x+2
整理後得x(x^2-1)(x^2-4)
1證x ，x^2-1，x2-4，不會同時為平方數
設x=y^2 ，則y^4-1絕對不為平方數
因為y^4是平方數，平方數沒有連續的(0、1除外)
可是y=1的話x=1，則x-1=0 不合自然數的要求
2也可能x=x^2-1且x^2-4為平方數
x^2-1=x^2-4且x為平方數
x=x^2-4且x^2-1為平方數
但仔細揣測，發現上述皆不成立。
不是ｘ不為自然數，就是等式不存在。
得到連續五個自然數的乘積不可能為平方數。

bobby

2006-01-03 23:10
還有相乘等於第三者的情況
ｘ(x^2-1)(x^2-4)
1 x(x^2-1)=x^2-4
2 x(x^2-4)=x^2-1
3 (x^2-4)(x^2-1)=x
這三組都無自然數解

PeterJiang

2006-02-02 23:57
將完全平方數因式分解應該就有偶數個"2"，因此這五個數"2"的位置只有可能在第1、3、5個數，且各有奇、偶、奇個"2"。
將完全平方數因式分解應該就有偶數個"3"，因此這五個數"3"的位置有可能在第3個數，且為偶數個；或著在第1、4或2、5個數，都各有奇數個。
將完全平方數因式分解應該就有偶數個"5"、"7"、"11"……，這些數各只有可能出現在一個數中且為偶數個
現在有三種可能
1.
(a^2)(2^(2m+1))
b^2
(c^2)(2^(2n))(3^(2o))
d^2
(e^2)(2^(2p+1))

2.
(a^2)(2^(2m+1))(3^(2n+1))
b^2
(c^2)(2^(2o))
(d^2)(3^(2p+1))
(e^2)(2^(2q+1))

3.
(a^2)(2^(2m+1))
(b^2)(3^(2n+1))
(c^2)(2^(2o))
d^2
(e^2)(2^(2p+1))(3^(2q+1))

兩個連續自然數不可能都是完全平方數，所以連續五個自然數的乘積不是完全平方數。

penguin7272

2006-02-16 21:33
這個問題其實是我問的
看了你的解法後發現有些問題
「將完全平方數因式分解應該就有偶數個"2"，因此這五個數"2"的位置只有可能在第1、3、5個數，且各有奇、偶、奇個"2"。」
這是不一定的
像4,5,6,7,8，各有偶、奇、奇個2
而32,33,34,35,36，各有奇、奇、偶個2
是否應再加以討論或另尋新路？

94006

2006-02-17 17:55
a*(a+1)*(a+2)*(a+3)*(a+4)
=a五次方+24a四次方+35a三次方+50a二次方+24a
因有五次項 完全平方數要開出來必須是偶數項
5非偶數 則此一乘積必非完全平方數

penguin7272

2006-02-18 12:49
依照你的說法，f(x)=x是一次式，所以不是完全平方數，但是x代任一完全平方數，f(x)都是完全平方數，不合。
本題只需考慮部分正整數，並不是對於每個正整數都成立，因此不能由函數的恒等性考慮。

訪客 (未驗證)

2006-02-18 19:44
根據我參加競賽的經驗，大部分證明某數非完全平方數的題目都可以用mod 4作出。因為一個平方數(mod 4)= 0或1，故只要證明此數mod 4必為2或3即可。以此題為例，這五個數mod 4只可能是 0,1,2,3,0或1,2,3,0,1或2,3,0,1,2或3,0,1,2,3等四種情形。其實只要分別討論所有情形，當發生"乘積"(mod 4)=0 情形將2^(2k)提出公因式後剩下的再取一次mod 4，即可證明四種情形皆不成立。不嫌麻煩的話可以自己試試看，這一招在數學競式很好用。

訪客 (未驗證)

2006-02-18 21:23
可不可以在寫詳細一點?

訪客 (未驗證)

2006-02-18 23:34
我以0,1,2,3,0為例好了。

中間三項1*2*3 (mod 4)=2，剩下的問題就是如何處理那兩個0。

令第一項為q * 2^k，q為奇數，因為q * 2^k (mod 4)=0，所以第五項為q * 2^k+4 = 4 * (q * 2^(k-2) -1)。

現在把第一和第五項乘起來，q * 2^(k+2) * (q * 2^(k-2) -1)為三個因子的乘積，顯然第一個因子和第三個因子為奇數，則q * (q * 2^(k-2) -1) (mod 4)=1或3。

最後只要處理第二個因子(2^(k+2))就好了。如果k是偶數，則此因子為完全平方數，故餘下的因子也必須為完全平方數此五項的乘積才會是完全平方。但"剩下的東西" (mod 4)=2*1或2*3不等於0或1，所以不可能為完全平方，矛盾。如果k是奇數，2^(k+2)=2^(k+1) * 2。又2^(k+1)為一平方數，可以提出，"餘下的因子" (mod 4)=2*1或2*3，同理矛盾。

其他3種情形用類似的方法，碰到剩下的數(mod 4)=0就想辦法提出完全平方的因子，再對剩下的數下手。這種方法雖然相當麻煩，也不是很漂亮，但可以說是證明"非完全平方數"題目的通解，值得瞭解一下。

訪客 (未驗證)

2006-02-19 12:21
連續5個正整數乘積是平方數 僅當 5^(2n) 是
這5個數 其中一個~
很顯然
又
[5^(2n)+4]，[5^(2n)+3]，[5^(2n)+2]，[5^(2n)+1]
[5^(2n) - 4]，[5^(2n) - 3]，[5^(2n) - 2]，[5^(2n) - 1]
都不會是平方數

因此對所有正整數 n
要能下面這5個數都不是平方數
[5^(2n)+4]*[5^(2n)+3]*[5^(2n)+2]*[5^(2n)+1]

[5^(2n)+3]*[5^(2n)+2]*[5^(2n)+1]*[5^(2n) - 1]

[5^(2n)+2]*[5^(2n)+1]*[5^(2n) - 1]*[5^(2n) - 2]

[5^(2n)+1]*[5^(2n) - 1]*[5^(2n) - 2]*[5^(2n) - 3]

[5^(2n) - 1]*[5^(2n) - 2]*[5^(2n) - 3]*[5^(2n) - 4]


那麼才可以完全證明
連續 5 個 正整數都不是 平方數~

abc831128

2008-01-21 00:04
設五個自然數為n-2,n-1,n,n+1,n+2
(n≧3)他們的乘積N=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)是平方數
若有質數p≧3, p | n,那麼p不整除(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2).因為N是平方數,∴ P^2k | n(k是自然數),
設n=2m^2,(若n中2的冪次為奇數)或n=m^2(若n中2的冪次為偶數),這裡m是自然數.∵(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)
=n^4-5n^2+4,而(n^2-3)^2＜n^4-5n^2+4＜(n^2-2)^2.
在兩個相鄰整數的平方之間不存在平方數,所以n^4-5n^2+4不是平方數,∴n≠m(否則N不是平方數).
當n=2m^2時,N=8m^2(m^2-1)(m^2+1)(2m^2-1)(2m^2+1)=(2m)^2乘2(m^2-1)(m^2+1)(2m^2-1)(2m^2+1)注意到2m^2-1,2m^2+1是奇數,上式表明
(m^2-1)(m^+1)應當是偶數(否則N不可能是平方數),
可現m是奇數,即2不整除m.
在2不整除m,3| m時,n-1與n-2,n+1,n+2互質,
n-1就應當是平方數.同理n+1也是平方數,
於是n-1=k^2,n-2=h^2,(h-k)(h+k)=2.這是不可能的.
可見3不整除m, 在2不整除m, 3不整除m時,
設=6t正負1,(t為自然數),這時m^2=12t(3t正負1)+1=12k+1,其中k=t(3t正負1),這時N=m^2乘24^2乘
k(6k+1)(8k+1)(24k+1).因此k(6k+1)(8k+1)(24+1)應當是平方數.又因為k,6k+1,8k+1,24k+1兩兩互質,
可見,他們都應當是平方數,因而4(6k+1)=24k+4
是平方數.因為24k+4與24k+1均為平方數,只能k=0
與k≧ 2矛盾
綜上所證之:任意五個連續自然數之積不是完全平方數

艾利歐

2010-01-14 17:54
這個問題的廣義型式為：
當n>1時，任意連續n個正整數的乘積不為完全平方數。

wanghp

2010-01-28 15:15
還可以更廣義

任意連續正整數相乘

都不是平方以上的冪