設a1 a2 a3.....aN 是n個正整數
若知a1+a2+a3+.....+aN=100
則請問(a1)*(a2)*(a3)*.....*(aN)最大值是多少？
怎麼證？
又，如果把"正整數"改成"正數"，怎麼證？
.
....拜託了 <(=.=)>.......
國中

回應

penguin7272

2006-03-02 22:10
先觀察6
明顯看出分成2個3的組合比3個2好(3^2>2^3)
所以分成3比分成2好
又對於大於4的正整數
易知多分出3乘積會較大
所以把100分出32個3，剩下4
對於4而言，分成2個2比分成1和3好
所以取a1=3,a2=3,...,a32=3,a33=2,a34=2
最大乘積為3^32*2^2=7412080755407364

penguin7272

2006-03-02 22:23
當aN為正數時
由算幾不等式知
(a1+a2+a3+...+aN)≧n次根號((a1)*(a2)*(a3)*...*(aN))
所以就是求(100/n)^n的最大值，其中n為自然數
用方法(微分或其他)得出極值在n約為36.7時
代入n為36和37檢驗
n=37有最大值
此時a1=a2=a3=...=aN=100/37
(a1)*(a2)*(a3)*.....*(aN)約為9.47*10^15

j7631103

2006-03-05 22:47
100/3=33......1
1+3=4
所以是3^32*4