請問如何用直式開方法開立方根?
並說明原理
國中

回應

孫文先

2006-03-30 15:42
將求立方根與求平方根類比

例如求x的平方根
(!)先由小數點位置開始向左或向右每二位二位標上逗點，分成釵h小節。
(2)由最左邊小節開始，估算求出正整數a，使得a平方最接近此小節的上的數。
(3)用此小節的上的數減去a平方，連同次一小節上的數降下至下一列。
(4)估算求出正整數b，使得(2a+b)乘以b最接近此列上的數。用此列上的數減去(2a+b)乘以b，連同再次一小節上的數降下至下一列。
(5)把10a+b=m視為一個數，估算求出正整數c，使得(2m+c)乘以c最接近此列上的數。用此列上的數減去(2m+c)乘以c，連同再次一小節上的數降下至下一列。
(6)把100a+10b+c視為一數，繼續此程序作下去，直到所要求的位數為止。
開平方基本運用到
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=a^2+(2a+b)b的原理。


所以開立方的方法為
(!)先由小數點位置開始向左或向右每三位三位標上逗點，分成釵h小節。
(2)由最左邊小節開始，估算求出正整數a，使得a立方最接近此小節的上的數。
(3)用此小節的上的數減去a立方，連同次一小節上的數降下至下一列。
(4)估算求出正整數b，使得(3a^2+3ab+b^2)乘以b最接近此列上的數。用此列上的數減去(3a^2+3ab+b^2)乘以b，連同再次一小節上的數降下至下一列。
(5)把10a+b=m視為一個數，估算求出正整數c，使得(3m^2+3mc+c^2)乘以c最接近此列上的數。用此列上的數減去(3m^2+3mc+c^2)乘以c，連同再次一小節上的數降下至下一列。
(6)把100a+10b+c視為一數，繼續此程序作下去，直到所要求的位數為止。
開立方基本運用到
(a+b)^3=a^3+3a^2 b+3ab^2+b^3=
a^3+(3a^2+3ab+b^2)b的原理。



frog

2006-03-30 21:59
孫老師果然是一代名師!
小弟在國中時代曾學過這兩種方法,但那時候的數學老師並未說明其原理. 今天孫老師信手拈來,竟解開小弟二十多年來的疑惑,真是萬分感激!只可惜這種方法現在不僅國中沒教,就連老師也不見得每個都會

Jason+Weber

2006-04-03 15:43
(4)估算求出正整數b，使得(20a+b)乘以b最接近此列上的數。用此列上的數減去(20a+b)乘以b，連同再次一小節上的數降下至下一列。



倘若動畫太快,我可以改慢一點!

訪客 (未驗證)

2006-04-03 17:58
以孫老師的年紀與層次，他當然要會，他也有教過那個時代的教材啊！
只不過用文辭敘述的方式而能完整的表達出來，這還真需要一點奶O的。我服他。
其實數字的開方用計算器就夠了，也可以不必學的。但是看到學生在問開方法，就想到早期的國中數學課本也有教直式開方法，內容甚至還有一元二次不等式、對數、簡單的集合論、分式方程式...等等〈那一套課本在74年改版之後就取消上述內容了〉。這表示國中學生是可以接受此等內容的。
可惜，為了所謂的快樂學習，愈改愈簡單，現在的內容比大陸的教材，差距真不知如何形容。對從事基層數學教學進30年的國中數學老師，真不勝唏噓。
哪一套教材在教完開方法之後，繼續解釋簡單的實數系結構。現在的教材內容老師也很難找出時間解釋數的結構、數的構成體系，學生當然也不知道，只好交給高中老師囉。
目前的教材，程度差的學生怎麼教都沒用，也不想學〈可憐的是，整體課程的編排讓他們也不知道做什麼好，變成沒事做只好找刺激了〉。更可怕的是，程度好的學生也學不到東西。真是無力。也真有一點點的無奈。
算是有感而發的題外話了。

frog

2006-04-03 19:57
引用：

Jason+Weber 寫道:
(4)估算求出正整數b，使得(20a+b)乘以b最接近此列上的數。用此列上的數減去(20a+b)乘以b，連同再次一小節上的數降下至下一列。
倘若動畫太快,我可以改慢一點!

第一次在九章看到有人用動畫來回答數學問題,真是太有創意了,忍不住要給他(她)拍拍手.
在電腦的世界需要學的有用工具實在太多了,您是否已經學會了Flash或其他的動畫軟體了呢?
對多數的人來說,電腦只不過是play games的工具罷了,真是太可惜了

孫文先

2006-04-03 20:10
資優生是多才多藝的，不僅是在課業上，在文學、音樂、美術、電腦、.....等很多領域他們都有傑出的表現。
老師、家長們：別一天到晚逼您的學生或孩子只讀死書。

Jason+Weber

2006-04-03 20:11
我目前只會這種自動播放的gif動畫,是用fireworks作的,flash的我還不會,也沒有軟體.不過挺想學的! :-D
三次方的很難打,可能生不出動畫來 :-(