小幾何問題

請眾高手幫忙 小弟拜託

本題的梯形並不共圓,所以不適用托勒密定理
利用簡單的三角公式b^2=a^2+c^2-2ac*cos角B
便可算出
AD*BC=42
算法如下
AE=36/17,BE=121/17,CE=66/17,DE=66/17
在三角形ABE中
7^2=(36/17)^2+(121/17)^2-2(36/17)(121/17)cos角AEB
因為角BEC與角AEB互補,所以cos角AEB等於負 cos角AEB
在三角形ABE中
BE^2=(66/17)^2+(121/17)^2+2(66/17)(121/17)cos角AEB
將第一條算式乘11,第二條算式乘6,再將兩式相加即可消去含cos的部分,可得出BE^2=77
又AD=6/11的BE
所以 AD*BC=77*(6/11)=42

打錯了幾個字,重新更正如下
本題的梯形並不共圓,所以不適用托勒密定理
利用簡單的三角公式b^2=a^2+c^2-2ac*cos角B
便可算出
AD*BC=42
算法如下
AE=36/17,BE=121/17,CE=66/17,DE=66/17
在三角形ABE中
7^2=(36/17)^2+(121/17)^2-2(36/17)(121/17)cos角AEB
因為角BEC與角AEB互補,所以cos角AEB等於負 cos角AEB
在三角形ABE中
BC^2=(66/17)^2+(121/17)^2+2(66/17)(121/17)cos角AEB
將第一條算式乘11,第二條算式乘6,再將兩式相加即可消去含cos的部分,可得出BC^2=77
又AD=6/11的BC
所以 AD*BC=77*(6/11)=42

由題設來看 AD平行BC(三角形ABE=三角形CDE) 再代入一個引理 這引理是 一凸四邊形ABCD 對角線AC和BD的中點分別為P Q 則有AB^2+BC^2+CD^2+DA^2-4PQ^2=AC^2+BD^2
所以 令AD=x BC=y 可得7^2+y^2+4^2+x^2-4[(x-y)/2]^2=11^2+6^2 易解得xy=46 我不知道我的解法是否有錯 因為我的答案和你的不一樣

正確答案是46,所以是您算對

我犯了一個錯誤就是以為是AD:BC=6:11
經過我從新計算正確的比例應該是AD:BC=26:59
用這個比例再從算一次得到的答案就是46了
不過引用現成的定理比我的方法快多了
謝謝

引用：

寫道:
由題設來看 AD平行BC(三角形ABE=三角形CDE) 再代入一個引理 這引理是 一凸四邊形ABCD 對角線AC和BD的中點分別為P Q 則有AB^2+BC^2+CD^2+DA^2-4PQ^2=AC^2+BD^2
所以 令AD=x BC=y 可得7^2+y^2+4^2+x^2-4[(x-y)/2]^2=11^2+6^2 易解得xy=46 我不知道我的解法是否有錯 因為我的答案和你的不一樣

運用這個定理應該是最快,最簡潔的方法了

若寫得完整的話很冗長
但只是用了
a^2=b^2+c^2-2bc(cos角A)
這個三角公式而己

我發現了新方法 4AD^2*BC^2-(BD^2-AB^2+AC^2-CD^2)^2這個值取 √後乘以1/4會=∣ △ABE- △CDE∣所以4AD^2*BC^2-(11^2-7^2+6^2-4^2)^2=0 可解得AD*BC=46

嗯好方法
可以說說你發現的過程嗎

其實是從Bretschneider公式得到靈感

引用：

寫道:
嗯好方法
可以說說你發現的過程嗎