是否存在a,b,c相異3正整數
使得
a^2=x^2+y^2
b^2=y^2+z^2
c^2=z^2+x^2
有正整數解

若有,試舉例
若無,請證明
高中

回應

ac19920221

2006-05-14 01:44
a=2,b=6,c=8時有正整數解

s87009812

2006-05-14 14:25
a=2?
不可能吧...
4=1+3=2+2=0+4
當中只有0+4兩個數均為完全平方數.
但是,0不屬於正整數阿.

aa963854116

2006-05-14 23:18
沒關係...
我上面兩層樓的那位可能
算太快搞錯了
還是煩請大家再幫忙想一想!!

linian

2006-05-14 23:22
它的解帶入也都不成立...

aa963854116

2006-05-15 21:28
個人是不知道答案......
要記得: 有可能造反證無解

mathgod

2006-05-15 21:32
看了一下:
覺得無解

訪客 (未驗證)

2006-05-15 21:59
樓上大哥,証明一下吧!
這題已經掛很久了

訪客 (未驗證)

2006-05-15 22:01
a^2+b^2+c^2=2x^2+2y^2+2z^2
(a+b+c)^2=2(x^2+y^2+z^2+ab+ac+bc)
a+b+c=偶數
a,b,c 3數中可能 1.皆為偶數
2.2數為奇數,1數為偶數
得到的結果是都不合(懶得寫了)所以無解

訪客 (未驗證)

2006-05-15 23:35
引用：

寫道:
a^2+b^2+c^2=2x^2+2y^2+2z^2
(a+b+c)^2=2(x^2+y^2+z^2+ab+ac+bc)
a+b+c=偶數
a,b,c 3數中可能 1.皆為偶數
2.2數為奇數,1數為偶數
得到的結果是都不合(懶得寫了)所以無解


因為"(a+b+c)^2=2(x^2+y^2+z^2+ab+ac+bc)"
不管x,y,z之值為何,a+b+c均為偶數
但"a+b+c=偶數",應無法直接判斷x,y,z無解

訪客 (未驗證)

2006-05-16 18:54
∵
a^2=x^2+y^2
b^2=y^2+z^2
c^2=z^2+x^2
∴
a^2+b^2+c^2=2(x^2+y^2+z^2)
∴
(a+b+c)^2=2(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx)
∴a+b+c=√2 (x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx)
又a,b,c與x,y,z皆為正整數
a+b+c=正整數不可能等於√2乘以正整數
∴無解

訪客 (未驗證)

2006-05-16 18:57
更正
∵
a^2=x^2+y^2
b^2=y^2+z^2
c^2=z^2+x^2
∴
a^2+b^2+c^2=2(x^2+y^2+z^2)
∴
(a+b+c)^2=2(x^2+y^2+z^2+ab+bc+ca)
∴a+b+c=√2 (x^2+y^2+z^2+ab+bc+ca)
又a,b,c與x,y,z皆為正整數
a+b+c=正整數不可能等於√2乘以正整數
∴無解

linian

2006-05-16 19:46
引用：

寫道:
(a+b+c)^2=2(x^2+y^2+z^2+ab+bc+ca)
∴a+b+c=√2 (x^2+y^2+z^2+ab+bc+ca)

這不對吧，因為在根號時沒有把
(x^2+y^2+z^2+ab+bc+ca)算進去
如果 (x^2+y^2+z^2+ab+bc+ca)=2*k^2
結果就成立了

frog

2006-05-16 23:36
引用：

linian 寫道:
引用：

寫道:
(a+b+c)^2=2(x^2+y^2+z^2+ab+bc+ca)
∴a+b+c=√2 (x^2+y^2+z^2+ab+bc+ca)

這不對吧，因為在根號時沒有把
(x^2+y^2+z^2+ab+bc+ca)算進去
如果 (x^2+y^2+z^2+ab+bc+ca)=2*k^2
結果就成立了
在下贊同您的看法
若(a+b+c)^2=2(x^2+y^2+z^2+ab+bc+ca)
則a+b+c=[2(x^2+y^2+z^2+ab+bc+ca)]^(1/2)
除非有辦法證明右式不可能為正整數
否則a,b,c仍有可能為正整數


訪客 (未驗證)

2006-05-17 09:50
在此提出個人的解法
因 為
(a+b+c)^2=2(x^2+y^2+z^2+ab+bc+ca)
所以
a,b.c三個數必為三偶或兩奇一偶
若為三偶則x,y,z也為三偶
因為奇數平方加奇數平方不可能成為一個偶數的平方(簡單証明,請自行處理)
所以方程組所有的數皆為偶數,故方程組兩邊可同除4,直至任一邊有奇數出現,此時情形只有一種必為
奇^2=奇^2+偶^2
奇^2=奇^2+偶^2
偶^2=偶^2+偶^2
所以此時x,y,z為兩奇一偶
代回 (a+b+c)^2=2(x^2+y^2+z^2+ab+bc+ca)
得到
偶^2=2*(奇^2)
4*(某數^2)=2*(奇^2) 兩邊同除2得
2*(某數^2)=(奇^2)
得到 偶=奇
故矛盾,此方程組無整數解

訪客 (未驗證)

2006-05-17 09:53
打錯了一個地方,重新更正
在此提出個人的解法
因 為
(a+b+c)^2=2(x^2+y^2+z^2+ab+bc+ca)
所以
a,b.c三個數必為三偶或兩奇一偶
若為三偶則x,y,z也為三偶
因為奇數平方加奇數平方不可能成為一個偶數的平方(簡單証明,請自行處理)
所以方程組所有的數皆為偶數,故方程組兩邊可同除4,直至任一邊有奇數出現,此時情形只有一種必為
奇^2=奇^2+偶^2
奇^2=奇^2+偶^2
偶^2=偶^2+偶^2
所以此時x,y,z為兩偶一奇
代回 (a+b+c)^2=2(x^2+y^2+z^2+ab+bc+ca)
得到
偶^2=2*(奇^2)
4*(某數^2)=2*(奇^2) 兩邊同除2得
2*(某數^2)=(奇^2)
得到 偶=奇
故矛盾,此方程組無整數解

訪客 (未驗證)

2006-05-17 10:25
對不起
上述的証明是錯的
我再思考看看

aa963854116

2006-05-17 19:14
沒想到一個題目卻引起這麼大的討論
"個人"認為基偶性比較可行
但~~怎麼證呢?
希望大家幫忙想想!!

mathgod

2006-05-17 21:03
覺得無解,
可是不會証
用奇偶性是一個很好的想法!!

訪客 (未驗證)

2006-05-17 21:34
個人想到一個方法
就是利用奇偶性再加上畢達哥拉斯三角形
三個邊長間的相互特定關係,. 方可得証,
但過程有點冗長

訪客 (未驗證)

2006-05-17 21:45
麻煩請那位說用奇偶性來証明的大大
說明白一些
謝謝

aa963854116

2006-05-18 18:08
引用：

寫道:
個人想到一個方法
就是利用奇偶性再加上畢達哥拉斯三角形
三個邊長間的相互特定關係,. 方可得証,
但過程有點冗長

請問該怎麼證呢?
簡略說明一下...

aa963854116

2006-05-19 23:24
這題目已困擾我很久了
希望說能用奇偶性證出的高手幫忙一下!!!!!

訪客 (未驗證)

2006-05-20 12:48
個以認為單用奇偶性是不夠的

johnn22000

2006-06-01 20:03
此題有無限多組解
例如
x = 160
y = 231
z = 792
a = 281
b = 825
c = 808
便是一組解

linian

2006-06-01 20:45
那就意味著有解了
原題目不能說無解...

訪客 (未驗證)

2006-06-02 11:06
想請問您是如何找到這組解的

aa963854116

2006-06-02 13:44
原題並未說無解,是說有解請舉例,無解請證明
引用：

linian 寫道:
那就意味著有解了
原題目不能說無解...

aa963854116

2006-06-02 13:46
怎麼找的??
太厲害了!!
引用：

johnn22000 寫道:
此題有無限多組解
例如
x = 160
y = 231
z = 792
a = 281
b = 825
c = 808
便是一組解

johnn22000

2006-06-02 21:32
詳細過程太繁雜
大致上可以這麼說
空間分析
以x,y,z軸分別為x,y,z
以兩兩的斜邊為a,b,c

再用Excel寫公式計算

這題應該是自己想的吧
還是說這題是在哪看到的呢

aa963854116

2006-06-02 22:48
是用電腦寫程式去找的嗎??
(我的電腦奶O很低啦...)

aa963854116

2006-06-02 22:52
那太強了(因為好像沒有很小的解)

linian

2006-06-02 22:53
那知道有1組解後，可以推廣嗎

訪客 (未驗證)

2006-06-02 22:56
乘上某整數倍
原式為齊次式...

aa963854116

2006-06-03 22:41
不是有無限組解嗎?
這些解可以找出規律嗎??