3X^2+X=4Y^2+Y
X.Y為正整數
試證X-Y為完全平方數
高中

回應

訪客 (未驗證)

2006-05-29 21:22
我找不出有符合方程式的xy吔
你可以舉一個例子嗎

訪客 (未驗證)

2006-05-30 19:46
我確定有解
可是我也找不到

訪客 (未驗證)

2006-05-30 20:17
那請問你如何確定

訪客 (未驗證)

2006-05-30 20:21
因為我根據式子推算
xy似乎無整數解
引用：

寫道:
我確定有解
可是我也找不到

訪客 (未驗證)

2006-05-30 20:29
因為出題者說的
而且這是我們學校的競賽題
不太可能有錯

訪客 (未驗證)

2006-05-30 21:38
有沒有可能題目抄錯了
我推論xy無正整數解的過程
3x^2+x-(4y^2+y)=0
因為x有正整數解,所以
1+4*3(4y^2+y)要為完全平方
48y^2+12y+1要為完全平方
可是48y^2+12y+1根本不是個完全平方式
除非y=0
OK?
如果題目沒錯麻煩請老師找一組xy來証明方程式有解

fuyaen

2006-05-30 22:12
不是完全平方式並不能證明不是完全平方數
Ex:
y=2
3y^2+y+2=16
but上式不是完全平方式

aa963854116

2006-05-31 10:25
Case1. 3x^2+x-(4y^2+y)=0
>>>>>1+4*3(4y^2+y)要為完全平方
Case2. 4y^2+y-(3x^2+x)=0
>>>>>1+4*4(3x^2+x)要為完全平方
令3x^2+x=4y^2+y=k
所以必須使1+12k和1+16k皆為完全平方數
左邊k=0,2,4,10,14,24,30......(必不為奇數)
因若令k=2s+1則1+12k=24s+11,不合
故可令k=2t
所以必須使1+24t和1+32t皆為完全平方數
右邊t=7,9,30,34......
然後......就接不下去了
是否有人能幫忙繼續接??

訪客 (未驗證)

2006-05-31 11:05
令1+24t=A^2
1+32t=B^2
B^2-A^2=(B+A)(B-A)=8t

這樣有幫助嗎

s87009812

2006-05-31 11:08
不知是否幫得上忙,不過我有另外一個發現...
因為 4y^2-3x^2=x-y
所以 (2y)^2-(√3x)^2=x-y
所以 2y √3x √x-y 三數成為畢氏數組.
請問,我只知道1:2:√3 可以形成.
但是如果x不等於y. 則2y √3x和某數能形成畢氏三元數嗎?

aa963854116

2006-05-31 11:38
目前用畢氏三角組的條件極不足夠
若以判別式證明,如上頁,目前接不下去......

fuyaen

2006-05-31 11:43
引用：

s87009812 寫道:
不知是否幫得上忙,不過我有另外一個發現...
因為 4y^2-3x^2=x-y
所以 (2y)^2-(√3x)^2=x-y
所以 2y √3x √x-y 三數成為畢氏數組.
請問,我只知道1:2:√3 可以形成.
但是如果x不等於y. 則2y √3x和某數能形成畢氏三元數嗎?


如果x不等於y
整件事就不成立

aa963854116

2006-05-31 11:56
為什麼呢??
引用：

fuyaen 寫道:
如果x不等於y
整件事就不成立

fuyaen

2006-05-31 12:10
畢氏定理不是直角三角型專用嗎
如果x不等於y
邊長就不成比例
就不是直角三角形了吧

ej0cl6

2006-05-31 13:16
如果我們假設題目成立
就接續s87009812的想法
2Y：(√3)X：√(X-Y)的係數比為畢氏組數
當Y不等於X或是Y不等於X-Y或是X不等於X-Y時
X-Y不會是完全平方數
所以X-Y=X=Y=0
但這跟X和Y為正整數矛盾
所以我覺得此提無解..

訪客 (未驗證)

2006-05-31 13:51
x=30，y=26就是一組解

訪客 (未驗證)

2006-05-31 16:52
令x-y=t => x=y+t代入方程式中
得 y^2-6ty-3t^2-t=0
y=3t±√(12t^2+t)
y有正整數解，12t^2+t需為完全平方數
12t^2+t=t(12t+1)
取t=4，得4*49為完全平方數
此時y=26，x=30為一組解

昌爸網站已有人給了證明，去看看吧！

aa963854116

2006-05-31 19:35
那題目應該錯啦...
不是完全平方數...

s87009812

2006-05-31 20:31
應該沒有錯吧...

這裡: (From: 昌爸 chuchu)

3x^2-3y^2+x-y=y^2
=> 3(x+y)(x-y)+(x-y)=y^2
=> (x-y)(3x+3y+1)=y^2
若可證得(x-y)和(3x+3y+1)互質，則x-y即為完全平方數

假設(x-y)和(3x+3y+1)不互質，則必存在一個質數p
使得p｜(x-y)且p｜(3x+3y+1)
因為p｜y^2，故p｜y，又因為p｜(x-y)，所以p｜x
可得p｜(3x+3y)，此與(3x+3y)與(3x+3y+1)必互質的事實矛盾
所以(x-y)和(3x+3y+1)互質，得證

他的解法第一段非常高竿...
僅用了因式分解和移項便輕鬆解決...

訪客 (未驗證)

2006-05-31 21:44
題目沒錯啦...
我到底要講幾次
而且都已經証出來了

訪客 (未驗證)

2006-06-01 09:30
此方程式應該只有四組整數解
(30,26)
(5852,5068)
(1135290,983190)
(很大的正整數,很大的正整數)

訪客 (未驗證)

2006-06-01 09:41
最後一組是
(220240440,190733816)
引用：

寫道:
此方程式應該只有四組整數解
(30,26)
(5852,5068)
(1135290,983190)
(很大的正整數,很大的正整數)

訪客 (未驗證)

2006-06-01 10:03
或麥晹釦韝j的整數解

訪客 (未驗證)

2006-06-01 12:02
我想問的是如何用嚴謹的方式証明
此方程式3X^2+X=4Y^2+Y有正整數解

之前有人提出 t(12t+1) 為完全平方數時有解
令t=4而可得4*49為完全平方數
但這感覺好像是用湊答案的
若用此法能找出第二組答案嗎
第二組答案要令t=784
所以當湊不到答案時就可以下定論說無解了嗎