求正整數解

不知道有沒有好一點的方法
目前只找到(x,y,z)=(1,1,2)

答案應該就只有
(1,1,2) (4,1,5)兩組

証明答案只有特定兩組
設z=x+y+c
其中x和y為正整數,c為整數
所以
7x^2+13y^2=5(x+y+c)^2
整理後得
2x^2-10(y+c)x+(8y^2-5c^2-10yc)=0
此x二次方程是有兩相異整數解的,所以
25(y+c)^2-2(8y^2-5c^2-10yc)必須是完全平方
整理上式
9y^2+70cy+35c^2必須是完全平方,所以
(70c)^2-4*9*35c^2=0
3640c^2=0
所以 c=0
代回原式可得
7x^2+13y^2=5(x+y)^2
(x-y)(x-4y)=0
x=y,x=4y
故得答案只有
(1,1,2)(4,1,5)兩組

照理說z=ax+by+c
為什麼這邊可假設z=x+y+c呢?

引用：

寫道:
証明答案只有特定兩組
設z=x+y+c

對不起,由於思慮不周,之前所提出的証明是錯的
7x^2+13y^2=5z^2
(x,y,z)有無限多組正整數解
除了
(1,1,2),(4,1,5),
又找到 (16,1,19)
以及一個xyz的關係比例式,就是
x:y:z=2(n+2)^2-13 : 5n^2-7 : 10n^2+14n+14
n可代入大於等於2的正整數而得到無限多組解
但當n是奇數時所得之xyz會有一個2的公因數
將之約去即可

對不起
打錯了一個數字
xyz的關係比例式應該是

x:y:z=5(n+2)^2-13 : 5n^2-7 : 10n^2+14n+14

能獨立思考解決問題
真的令人很有成就感

再補上 (4,19,31)這組解
和另外一個xyz的關係比例式,就是
x:y:z= 5n^2-13 : 5(n+2)^2-7 : 10n^2+26n+26
n可代入大於等於2的正整數而得到無限多組解
但當n是奇數時所得之xyz會有一個2的公因數
將之約去即可

補上這個關係比列式應該包含所有的整數解了

ax^2+by^2=cz^2 a,b,c 是正整數
x,y,z有沒有正整數解，取決於a,b,c三數間的關係
如果c(a+b)是一個完全平方數
則x,y,z有正整數解,而且好像是無窮多個
若不是完全平方數則x,y,z似乎無正整數解
這只是個人舉一些例子觀察得到的現像
只是停留在猜想的階段
並未經過嚴謹的証明
提出來與大家分享

再加註一點a,b,c不同時等於一數
否則式子就變成
x^+y^=z^
此時符合式子的正整數就是曅達哥拉斯數了

引用：

寫道:
ax^2+by^2=cz^2 a,b,c 是正整數
x,y,z有沒有正整數解，取決於a,b,c三數間的關係
如果c(a+b)是一個完全平方數
則x,y,z有正整數解,而且好像是無窮多個
若不是完全平方數則x,y,z似乎無正整數解
這只是個人舉一些例子觀察得到的現像
只是停留在猜想的階段
並未經過嚴謹的証明
提出來與大家分享

嗯
所以這個猜想的後半部是錯的