高中

7.在m × n的方格表的每個小方格內任意選擇一個 “+”號或“–”號填入。
(a) 每次操作可以將同一行或同一列上小方格內的記號由“+”號改變為“–”號或由“–”號改變為“+”號。若無論如何操作都無法將一個方格表上的記號全部變為“+”號，則稱此方格表為“不可化簡”的方格表。試證：在每一個“不可化簡”的方格表中必定包含有一個“不可化簡”的2 × 2的小方格表。（三分）

(b) 每次操作可以將同一行、同一列或同一斜線上的所有小方格內的記號由“+”號改變為“–”號或由“–”號改變為“+”號。若無論如何操作都無法將一個方格表上的記號全部變為“+”號，則稱此方格表為“不可化簡”的方格表。試證：在每一個“不可化簡”的方格表中必定包含有一個“不可化簡”的4 × 4的小方格表。（六分）
（註：所謂在同一斜線上的所有小方格是指方格表中的某一個小方格及其東南與西北（或東北與西南）方向的所有小方格；因此，四個角落的小方格每個都可單獨視為在同一斜線上的所有小方格。）

6.四面體ABCD中，△ABC與△ABD之面積和等於△CDA與△CDB之面積和。設與四面體ABCD的四個表面都相切的內切球球心為點O。試證：BC、AD、AC、BD之中點都在同一平面上，並且此平面亦包含點O。（七分）

4.三角形ABC中，點H為其三高之交點，點I為其內切圓之圓心，點O為其外接圓之圓心，點K為其內切圓與BC邊之切點。若IO // BC，試證：AO // HK。（七分）

2.試證：任意正整數都可以用
(3^u1)(2^v1)+(3^u2)(2^v2)+.....+(3^Uk)(2^vk) 的形式表示之，其中u1, u2, ...uk, v1, v2, ....vk為整數且 u1>u2>...>uk>=0, vk>.....>v2>v1>=0。（四分）

我眼中的環球數學競賽是一場「毫無掩飾的才能之戰」。
只需要一點如何寫說明、如何寫證明的基本央A就可以充分地享受快樂的4、5小時。
要考很高分，或酗暑搨n一點點後天的學習。
然而只要有一丁點數學天分的人，就算是只有翻過課本，也應該有一定的分數。
一些完全迷失於學校內記憶數學的孩子們，我給他們當頭棒喝的方法是－「騙他們去考環球」。
結果是很殘忍的………。即使他是縣長獎畢業，即使他後來考上醫學系。
面對「環球數學競賽」的考卷時，每個人都被硬生生地巴掉所有的面具、裝飾。
我一直沒有辦法輔導在沒有心理準備下，突然間見到真實自己的「假性資優生」。
我想，在他們心中留下「恨意」是難免的。
或部A有釵h人會覺得我多慮了，但，我已經親自接過很多個案。
這些學生不認同這項競賽嗎？
不，就是因為認同，所以傷害更大。
他們面對的是一件不想接受的事實，千真萬確，難以接受，卻又不可改變。
這個事實已經存在十幾年，但他們卻一直看錯。

我不喜歡「環球數學競賽」嗎？
不，我太喜歡它了！！！
我是數學資優生嗎？
不，我不是。

咱們今天段考數學考了這麼一題:
100!+1,100!+2,100!+3..............100!+140,
這140個連續的自然數中,有幾個是質數?
請問要怎麼算阿?

請問一下各位大大.為什麼0的倒數是無限大阿?

請教一下各位大大.什麼事泰勒函數阿?

5.將一個紙片作成的四面體(不必要是正的)，沿著它其中的三個稜邊剪開後把它展開平放在桌面上，如果此展開的紙片的外形仍是一個三角形，則把這組剪開的三個稜邊稱為「好的組」。如果此展開的紙片上四面體的每個表面的三個邊的延長線，都不會通過四面體的其它表面的內部，則把這組剪開的三個稜邊稱為「完美組」。
請問對於任意四面體是否每個「好的組」都必定是「完美組」？（六分）

4.用邊長為1之正方形的四個邊為斜邊分別向正方形外作四個直角三角形。令點A、B、C、D分別為這四個直角三角形直角上的頂點。O1、O2 、 O3、O4 分別為這四個直角三角形內切圓的圓心。試證：
(a)四邊形ABCD的面積不大於2。(三分)
(b)四邊形 O1O2O3O4 的面積不大於1。（三分）