國中

6.令1+(1/2)+(1/3)+...+(1/n)=(An/Bn)，其中An與Bn為互質的兩個正整數。試證：有無限多個n值使得不等式{Bn+1小於Bn}成立。(八分)

5.有一張1乘1的相片(厚度不計)，如果一張面積為2的矩型包裝紙經過褶疊後(但不可以剪開)，可以完全覆蓋住此相片的正反兩面，則稱此包裝紙為「合身的包裝紙」。(例如：2乘1的矩形包裝紙和邊長為根號2的正方形包裝紙都是合身的包裝紙。)
(a)試證還有其他的「合身的包裝紙」(四分)
(b)試證有無限多個尺寸不同的「合身的包裝紙」(三分)

4.半徑為R的圓內切一個銳角三角形。已知圓上有三條切線將此三角形分割出三個直角三角形及一個周長為Q的六邊形，請問這三個直角三角形的內切圓直徑總和是多少？(此總和請用R與Q表示之)(六分)

3.在3乘3的方表格中，第一列的小方格內由左至右分別填入a、b與c三個數，第二列的小方格內由左至右分別填入d、e與f三個數，第三列的小方格內由左至右分別填入g、h與i三個數，已知這個方格構成一的「幻方」，及方格的每一行、每一列及每一條主對角線(主對角線共有兩條)上的數之和都相等。試證：

(a) 2(a+c+g+i)=b+d+f+h+4e(三分)
(b) 2(a^3+c^3+g^3+i^3)=b^3+d^3+f^3+h^3+4e^3(三分)

2.小金每遇到一個人，他都試圖了解誰與誰彼此互相認識與否。為了便於紀錄，他畫了一個圓使得每個人分別用一條弦代表，若兩個人互相認識則使代表他們的弦相交(可能相交於端點)，若兩人互不認識則使代表他們的弦互不相交。小金認為對於任何一個團體裡的人員彼此互相認識與否，都可以用這種方式記錄。請問小金的說法正確嗎？(五分)

1.有一個正七邊形與一個正十七邊形，分別畫出他們的外接圓與內接圓。已知在這兩個正多邊形的內接圓與外接圓之間環部分的面積相等，試證這正七邊形的邊長與正十七邊形的邊長相等。(三分)

對於任一質數p及整數a
p可整除a^p-a
特別地,當p,a互質時
p可整除a^(p-1)-1

完成同一件工作.甲單獨做所須要的時間為乙.丙二人合作所須要時間的p倍;乙單讀做所須要的時間為甲.丙合作所須要時間的q倍.丙單獨做所須要的時間為甲.乙合做所須要時間的x倍.
求證:x=(p+q+2)/pq-1

某自來水公司水費計算方法如下:每戶每月用水不超過5噸的.每噸收費0.85元:超過5噸的.超出部份每噸水收取較高的定額費用.已知今年7月份張家用水量與李家用水量的比是2:3.其中張家當月的水費是14.60元.李家當月的水費是22.65元.那麼超出5噸部份的收費標準是每噸?? 元

某校運動會在400米的環行跑到上進行10000米跑步比賽.甲.乙兩運動員同時起跑後.乙速超過甲速.在第15分鐘時甲加速.在第18分鐘時甲追上乙並且開始超過乙:在第23分鐘時.甲再次追上乙.且在第23分50秒時.甲到達終點.那麼乙跑完全程所用的時間是??