國中

有個賣舊雜誌的商人向客人說：「這裡的書不單賣，一次要買一整套。」其賣法如下：

1. 把雜誌分成2堆，同一堆中的書最新的賣1元，第二新的賣3元，第三新的賣5元......價格為奇數，依此類推，且兩堆皆為此種賣法。

2. 最後把所有費用合起來後，再加上小費以湊成100的倍數。

若客人盡量把2堆的總價格分的便宜一點，最後發現只有一本書最貴，而且此書的價格為他老婆年齡的5倍，求小費為多少錢？

5.將2004分拆為一個或一個以上的正整數之和，且這些正整數「差不多相等」。所謂一些正整數「差不多相等」是指它們之中的任一兩個數的差等於1或0。請問滿足上述條件的分拆方法共有多少種?(注意：如果分拆後的正整數都相同，但只有次序不同，視其為同一種分拆方法。)(五分)

4.平面上任意給定一個圓及一條與此圓不相交的直線。請使用沒有刻度的直尺與圓規做一個正方形，使得此正方形相鄰的兩個頂點在此給定圓的圓周上，另二個頂點則在所給定的直線上(假設這樣的正方形確定存在)。(五分)
↑請大家仔細看清楚這句話!

3.有若干個城市，其中的每些城市之間有巴士行駛(每條路線的巴士都是雙向對開，在中途沒有任何停靠站)。我們可以搭巴士從任何一個城市到任何其它城市(有可能中途經過其他的一些城市轉乘)。小強購買所有巴士營運路線的單程票各1張(一張P、Q城市之間的單程車票可以用來由城市P搭乘巴士至城市Q一趟，或由城市Q搭乘巴士至城市P一趟，但不得雙程使用)；小皮則購買所有巴士營運路線的單程票各n張。小強與小皮都由城市A出發，小強用盡所有的車票後，沒有再購買任何新的車票，結果他最終抵達城市B；小皮搭了一陣巴士之後，用了部分的車票，如果他不再購買任何新的車票，他已無法離開城市X(因為他已沒有由城市X到任何其他城市的車票)。試證：城市X必為城市A或城市B二者之一。(四分)

2.一個盒子內有紅、綠、藍、白四種顏色的珠子共111顆。已知我們隨意從盒子內取出100顆珠子，可以保證取出的珠子中四種不同顏色的珠子都會出現。請問我們至少要從盒內任意取出多少顆珠子，在滿足上述條件下，無論何種顏色的珠子如何分配，也一定可以保證取出的珠子中至少有三種不同顏色?(四分)

1.是否能將正整數1、2、3、…、2003、2004重新排列，使得任意連續十項的和都可以被10整除?(三分)