國中

6. 小田宣稱他有魔法，可以從撲克牌的背面透視它的花色，於是大家把包括有黑桃、紅心、方塊及梅花各9張的一疊36張牌洗好後，交由小方把這疊牌的牌面向下放在小田面前，要他說出這疊牌最上面一張牌的花色。當小田說出答案後即把這張牌翻開來驗證他的答案是否正確，並將這張牌放在一旁不再加入這疊牌中；接著繼續猜測下一張牌，重複以上程序。他試圖使猜測的正確次數愈多愈好。這副牌背面的圖樣完全相同但並非對稱的(即可以分辨出圖案朝前或朝後)。小方雖然知道這疊牌的排列順序，但他不能更動，也不能偷偷告訴小田。但是他可以依照事先與小田約定好的方式利用撲克牌背面圖案的朝向來暗中協助小田。事實上，小田並無魔法，他只是利用數學方法來作分析判斷。請問在小方的協助下，小田有沒有辦法保證正確地預測到
(a) 不少於19張牌？（三分）
(b) 不少於20張牌？（五分）

5. 在坐標平面上，抛物線 與圓O恰好只相交於A及B二個點。假設抛物線在點A處的切線與圓在點A處的切線二直線重合。請問抛物線在點B處的切線與圓在點B的切線二直線是否也重合？（七分）

3. 一個三角錐(即四面體)在任意平面上的垂直投影中，已知在平面E上的垂直投影具有最大的面積。試證：平面E平行此三角錐的某一個面，或與此三角錐的兩條歪斜的稜同時平行。（六分）

4. 圓O與圓 相交於點A及點B，它們的一條公切線(比較靠近點B處的這一條)分別切圓O於點E、切圓 於點F，直線AB與EF相交於點M。延長線段AM至點K，使得KM = MA。連接直線KE交圓O於點C，連接直線KF交圓 於點D。試證：A、C、D三點共線。（六分）

6. 在黑板先寫下2004！(= 1×2×3×…×2004)這個數。小王與小丁二人輪流依下列規則玩遊戲。每一次輪到的人都將黑板上的數減掉一個不大於它的自然數，規定這個自然數不同的質因數個數不得超過20個，若所得到結果為0，則其獲勝。否則，擦去黑板上的數，將所得的結果寫在黑板上，再輪到下一位。請問先手或後手何者有必勝的策略？如何操作？

5. 一個多邊形(不必是凸的)的撞球枱，它的相鄰兩個邊都互相垂直。在多邊形的頂點處都有進球洞，球洞處掛有網袋 (假想球洞及球為一點)。若頂點A的內角為90°，由A處擊出一顆球，此球在枱內沿直線不停地滾動並依照“入射角等於反射角”之定律碰撞枱邊，球若滾經頂點則會墜入袋中。試證：此球永遠無法回到A袋中。

3. 有一家公司的股票，它的股價每天不是上漲n% ，就是下跌n% ，其中0＜n＜100。請問是否存在一個正整數n ，使得有二個不同的日期出現相同的股價？(要求計算股價時必須精確地計算，不得只取近似值)

2. 在8×8的棋盤中，規定每個方格中至多放入一個棋子。如果x、y、z為三個形成斜對角排列的連續方格，方格x、y內都放置有棋子，而方格z內為空的，則我們稱方格y內的棋子為“可被吃掉”的棋子。請問在此棋盤中至多可以同時放入多少個棋子，使得所放入的每個棋子都為“可被吃掉”的棋子 ？（五分）

1. 有一個每項都是整數的有限項等差數列，已知這個等差數列之總和是2的冪次方(即 ，其中x是非負整數)。試證：這個等差數列的項數亦為2的冪次方。（四分）

4. 設 a1，a2 ，a3 ，a4 ，…為一個等差數列，已知 a1^2，a2^2 ，a3^2 也是這個等差數列中的某些項。試證：這個等差數列中的每一項都是整數。(五分)