國中

3. 有一個凸四邊形的周長為2004，其中有一條對角線之長為1001。請問這個凸四邊形的另一條對角線之長是否可能為1？或2？或1001？請說明您的理由。(四分)

1. 已知折線ABCD 中的線段 AB、BC及CD之長度均相等，並且均與圓O外切。設線段BC與圓O之切點為E；線段AC與BD之交點為F。試證：點E、點F及圓心O三點共線。(四分)

5. 兩個十位數如果恰好只有某一位數的數字不相同，則稱這二個數互為“鄰居數”。例如：1234567890，1234507890就是二個“鄰居數”。請問至多可寫下多少個十位數，使得這些數中的任二個數都互不為“鄰居數”？

4. 設a為大於1 的正整數，它是一個n位數，在這個數後面再重寫一遍得到一個2n位數b。若b是 a^2的倍數，試求b/a^2 的所有可能值。（給出所有可能的值並給出例子，同時證明沒有其它的值。）

3. (a)有三個完全相同之大容器，第一個容器內盛有3公升的純糖漿；第二個容　　　 器內盛有20公升的純水；而第三個容器則是空的。可以任意選擇以下之操作：　　
(1) 將某個容器中的溶液全部倒入另一個容器中；
(2) 將某個容器中的溶液全部倒掉；
(3) 任選二個容器將第三個容器中的溶液倒入其中一個容器中，使得所選這二個容器內的溶液的液面一樣高。
請問如何操作才能得到10公升濃度為30%的糖漿溶液？(三分)
(b)承上題，若第二個容器內改為盛有n ( n為正整數) 公升的純水，試求可以所選得到10公升濃度為30%的糖漿溶液的n之所有可能值。（給出所有可能的值並給出例子，同時證明沒有其它的值。）(二分)

2. 設n為正整數，如果存在有n個連續的整數(包括正整數、0及負整數)之和為質數，試求n的所有可能值。(三分)

1. 在△ABC中，已知∠A的角平分線、AB邊上的中垂線及AC邊上的高這三條線共點。試證：∠A的角平分線、AC邊上的中垂線及AB邊上的高這三條線也共點。(三分)

設k=1234567891011121314.....,那k有沒有可能為x^n(n和x都屬於正整數) ,那如果n和x都不為1,求出所有可能值並證明沒有其他值

要寫出一串字母,使它其中包含了P和Q的一切可能的4字母組合,(也就是說,它必須包含下列字母組合PPPP,PPPQ,PPQP,PQPP,QPPP,PPQQ,PQPQ
QPQP,QQPP,PQQP,QPPQ,QQQP,QQPQ,QPQQ,
PQQQ,QQQQ)例如
PPPPPPPQPPQPPQPPQPPPPPQQPQPQQPQPQQPPPQQPQPPQQQQPQQPQQPQQPQQQQQQQ包含了所有組合,問最少要幾個字母才夠,並且把答案打出來