高中

1/x+1/2y=(x^2+3y^2)(3x^2+y^2)
1/x-1/2y=2(y^4-x^4)

兩圓 O1(大園)　Ｏ2內切於點T
AB是原O1的一條弦，和圓O2外切於點S
AO2上一點P
求證:PB垂直AB當且僅當PT垂直ST

做了許久還做不出來 希望眾高手幫忙

請問這個令人著迷的競賽，
今年台灣還會舉辦嗎？
謝謝。

如何證明不定方程式 2(X平方)=(Y平方)+(8t±1)
當為t正整數 且8t±1為質數時
必有正整數解(X,Y)

話說今年東南的第三題阿..
天阿我根本不知道要怎麼下手...囧
他是這麼說的:

已知三角形ABC內切圓I分別與邊AB、BC相切於F、D，直線AD、CF分別交圓I於另一點H、K。求證：
FDxHK=3(FHxDK)

阿就麻煩大家了~~謝謝啦=D

1964年IMO的第5題
Five points are given in the plane. Among the lines that connect these five points, no two coincide and no two are parallel or perpendicular. Through each point we construct an altitude to each of the other lines. What is the maximal number of intersection points of these altitudes (excluding the initial five points)?
我算出的答案是310，但我不知道要如何構造出例子，有人有其他答案嗎?

若用純代數的方法，如何證
(n+1)(n+2)(...)(2n) / (1)(2)(3)(...)(n)
之商為整數?

(如果從排列組合來看的話，這個值就是c2n取n，一定是整數)
但我用歸納法作不太出來，請大家幫忙！！

幾何明珠裡有一個重心定理的推廣，並以此定義多邊形的重心：
在一個n邊形中，任選一頂點，與剩下n-1個頂點圍成的多邊形的重心(n-1=2時取線段中點)連線，稱為中線；n邊形的n條中線共點，且交點為(n-1):1的分點，這個交點稱為n邊形的重心

但是這個定義似乎與原始的重心定義相違背，照物理上的定義是可以將物體的重量視為集中在重心上，也就是：從重心到圖形內所有點的向量和為0。
我想知道為什麼兩個結果會不一樣(舉例：箏形)，還有照下面的定義，重心要怎麼求

設x為整數，且x/(x^2+x+2)u,也為整數，求x=?