高中

剛剛教完二項式定理，老師便出了一道題目
K由"0"加到"20"
K*C(20取K)*(2/5)^(20-K)*(3/5)^K
應該是跟二項式有關吧!!

1)稱一個數是"質樣數",如果此數為合成數,但不能被2、3、5整除。最小的3個「質樣數」為49、77、91。小於1000的質數有168個。試問小於1000的質樣數有多少個?
2)令S為所有的點其座標為(x,y,z)，其中x,y,z都選自集合{0,1,2}。試問有多少個正三角形其頂點都在S內?

試求1+10+101+1010+10101+101010…之值，一共有2n項。
想了很久，也試著拆項，但仍找不到規律，請各位先進不吝指導，謝謝～

1.三個半徑為1的球彼此外切放在同一水平面上,一個半徑為1的球放在它們的上面,試問上面的球的最高點至水平面的距離?
2.三個半徑為1的球彼此外切放在同一水平面上,一個半徑為2的大球放在它們的上面,試問大球的最高點至水平面的距離?(2004AMC10第25題)

7. 某項測驗有30道是非題。小文對於試題內容完全不懂，但他可以對相同的試卷作答多次，每次每一題他都必須作答，每份試卷作完後他都會被告知答對的題數。請問當他
(a) 共作答30次；（五分）
(b) 共作答25次，（五分）
他有什麼方法保證最後一次作答可以將這30道題完全答對？

6. P(x)為實係數多項式，且存在無窮多的整數對(m, n)使得P(m)+P(n)=0 。試證它的圖形y=P(x) 具有中心對稱。（九分）

5. 在無窮數列{a_n} ， a_0=0中，對於 ，若n的最大奇因數除以4餘數為1，則 a_n=a_(n-1)+1；若n的最大奇因數除以4餘數為3，則 a_n=a_(n-1)-1。此數列的首幾項為：0、1、2、1、2、3、2、1、2、3、4、3、2、3、2、1、…。
試證在此數列中，每一個正整數將出現無窮多次。（八分）

4. 在四邊形ABCD中，AD//BC但AB≠CD，對角線AC與三角形BCD的外接圓另相交於點 A'、與三角形BAD的外接圓另相交於點C' ；對角線BD與三角形ABC的外接圓另相交於點D' 、與三角形ADC的外接圓另相交於點B' 。試證四邊形A'B'C'D' 也有一雙對邊互相平行。（六分）

3. 在一個雙人對局遊戲中，最初有n>2堆石子，每堆都恰好有一顆石子。兩人輪流進行以下操作：任選石子數量互質的二堆，將它們合併為一堆，無法依上述規則再繼續操作者為輸方。對於任意n>2，無論對手如何應對，請問玩家有無必勝的策略？（六分）

2. 將空間分割為釵h互不重疊的單位正立方體。以下敘述是否必定為真：每一個單位正立方體都存在有另一個單位正立方體與它有一個完全吻合的面？（六分）