國中

3. 小思畫出一個三角形ABC及它的一條中線AD。當小艾得到 AD/AC之值即可證明∠CAB為鈍角且∠BAD為銳角。請確定AD/AC 之值並證明您的結果。（六分）

2. 有四塊石子，它們的重量都是正整數公克，及一台可指示左秤盤與右秤盤上物品重量差的「重量差天平」。若至多可能有一次秤重此天平會有1公克的誤差，請問能否用此「重量差天平」秤四次即可確定這四塊石子的正確重量？（六分）

1. 在一塊100×100的棋盤上放入100枚皇后，使得它們之間都互相不攻擊。若將此棋盤切割成四塊50×50的小棋盤，試證每塊小棋盤上至少有一枚皇后。（註：西洋棋皇后可攻擊東、西、南、北、東南、西南、東北、西北方向的棋子。）（四分）

5. 在一條直線的跑道上有數名運動員，每位運動員都以互不相同的勻速跑步。他們由跑道的一端同時出發，當他們抵達跑道另一端時立即折返繼續跑。已知出發後某一個時刻這些運動員全都相遇於某個點，試證這樣的情況將會再度發生。（四分）

4. 有三個相異正整數構成一個等差數列，請問這三個數的乘積是否可以等於a^2008（其中a為正整數）？（四分）

3. 三角形ACE內接於半徑為2的圓內。試證恆可以在弧CE上找出一個點D、在弧EA上找出一個點F、在弧AC上找出一個點B使得六邊形ABCDEF的面積之數值等於三角形ACE的周長之數值。（四分）

2. 由1、2、3、…、50中挑選出二十五個數，從51、52、53、…、100中也挑選出二十五個數。已知所挑選出的數中任兩個數之差都不等於0或50。請問所挑選出的這五十個數之和是多少？（三分）

1. 有十個盒子，盒內各裝有不同數量的彩色筆。在同一盒子內任兩枝筆的顏色都互不相同。試證保證可以從每個盒子內各挑選一枝彩色筆使得所挑選出的筆之顏色都互不相同。（三分）

(xy+1)(x+1)(y+1)+xy=0

1.已知A、B兩地相距18公里，甲乙丙三人同時自A地出發前往B地，步行每小時走4公里，騎腳踏車每小時騎6公里，他們只有一輛腳踏車（假設腳踏車可以雙載，既一個人騎、一個人坐），問三人都到達B地最少要多少時間？

2.甲乙兩車分別從AB兩地同時出發,相向而行,甲車每小時走60公里,乙車每小時走50公里,他們第一次相遇以後,繼續以原來的速度前進,各自到達目的地後又立即返回,已知途中第二次和第三次相遇地點相距20公里,則AB相距多少公里?